数学板的板友们好，我们在三月时在板上发了一篇徵稿文， 徵稿主题为【我的数学梦】。 而後收到不少稿件；虽然不知道有多少是数学板的板友，但想必是有的！ (虽然在徵稿文下没有任何推文(￣▽￣＃)﹏﹏) 而现在【我的数学梦】系列已在网站上刊载完毕，趁这个周末， 我们想将这些来自不同背景、但同样在数学路上耕耘的文章转录在数学板上， 当作抛砖引玉，希望大家会有更多的想法~ (也希望以後徵稿大家多多来信:P) 对各篇文章有兴趣的板友，也欢迎到我们的网站留言唷！ 以下开始【我的数学梦】‧第一篇 ========================================================================= 【我的数学梦】一张十元马克 一张陈旧的十元德国马克，正向你娓娓倾诉高斯的另一段传奇；翻开钞票背面，看见数 学家的测量人生。 http://case.ntu.edu.tw/blog/?p=8515 撰文∣张孟哲 　　如果要将自己的生平事蹟制成一张钞票，你会希望它长得什麽样子？也许，别人的观 点会和你自己的期待大不相同，至少对德国数学家高斯（Carl F. Gauss）来说正是如此 。 　　在一九九一至二○○一年间流通於市面的德国旧货币十元马克钞票，它的正面印着高 斯的肖像。肖像左侧还印上了钟形曲线，那是他在一八○九年出版的数学着作中重要的成 果之一；但印在背面的图案，出乎意料之外的并非关於高斯自豪的正十七边形作图法、或 是他一生中在众多数学领域里非凡的成就，而是一具与大地测量有关的六分仪和三角测地 成果图。 　　高斯曾经实际领导测地工作达数年之久。这张十元马克的印刷带有淡淡的蓝紫色基调 ，与一种来自缬草花的颜色很相近。这样的设计也许不是任意的选择，因为这种缬草紫与 高斯为测地作业发明的仪器「回光仪（heliotrope）」，恰巧有着相同的名字。 　　 http://case.ntu.edu.tw/blog/?p=8515 （图说：旧版十元马克的背面，以缬草紫色调印着奇妙的机器。） 　　 　　或许出於热爱纯数学理论的天性，高斯本人对於这段经历并没有太高的评价。他曾经 在给友人的信中写道：「世上所有的测量工作，都比不上一个能让永恒真理确实得以进展 的理论。」但後世的一些制钞者显然不这麽想，他们甚至把高斯在测量学和数学方面的贡 献相提并论，放进了同一张钞票的正反面。这不禁让人开始好奇：到底高斯在测量的领域 里完成了哪些事情，使他的这重身份如此受到重视呢？ 　　在十九世纪初期，大地测量是受到官方正式赞助的工作。一张准确的地图在经济及军 事方面的好处十分明显，几乎所有欧洲大陆上的主要国家都展开了各自的测地计画。一八 一六年哥本哈根大学的教授舒马克（H. Schumacher）开始了在丹麦王国的测地计画，其 中一项目标是整合南方的邻近王国汉诺瓦（Hannover）原有的测地成果。作为高斯的好友 ，舒马克询问高斯是否有兴趣参与这项任务，而後者很快就答应了。自一八一八年开始的 三十年里，他在这个计画上投注了大量的心力，几乎排挤掉研究纯数学和天文学的时间。 　　高斯对测地学的兴趣源自青年时代。他在一七九九年发表了第一篇测地学论文，当时 仅有二十二岁。在一八○三至○五年间，他带着自己的仪器参与了法军的小型测量任务， 正好就在在他的出生地布伦瑞克（Brunswick）。决定参与测量计画後，高斯向官方提出 附有任务执行步骤及所需人员物资的说明书，获得了正面回应与派遣士兵的随行，他本人 则被任命为计画领导者。然而，高斯低估了实务上的困难，这项任务意外地成为之後十数 年间他的生活重心所在。 　　原有的目标只是连接两个地区的测量网络，但汉诺瓦地区当时的测量成果相当糟糕， 一部份的测量基准点甚至早已无人知晓。任务目标很快演变为对汉诺瓦地区的重新测量， 之後更扩张到将不莱梅（Bremen）纳入目标区域。高斯亲自参与了计画的起始阶段，在夏 天操作经纬仪进行现地作业。他必须选定适当的三角测量点、指挥各组人马前往架设仪器 ，并且不断以信件连络进行细部调整。冬天来临时他得独自整理测量所得的成果。在那个 缺少先进计算机的时代，繁复庞杂的计算工作必需以人力来完成，这是高斯後期的主要任 务。整个计画结束後，他估计自己处理了超过一百万个数字的计算。 测量大地 　　大地测量实际的工作十分艰苦，有非常多的困难需要面对。比方说，不莱梅附近的区 域几乎是一片平坦，不利於测量工作中「基准点之间必须能够通视」的条件，因为平地上 能够阻挡视线的事物太多了。清除障碍物的工作是必要的，有时可能是一座谷仓、一小片 树林，而在最後一棵树倒下前甚至无法确定三角形的两个点是否真的能够彼此相连。任务 期间的日子往往充满焦虑，有好几年的夏天高斯几乎没有在家中渡过、总是来回奔波於不 同的村庄，和当地的农夫对砍掉几棵树的补偿讨价还价。相较於一般数学家，高斯有着足 以应付测地任务辛劳的体格。对他而言，或许夏天的闷热、令人不适的交通和居住环境、 与各方面的协调、经费的短缺以及无止尽的计算工作，才是最难以忍受的部份。 　　当时的测量技术有个持续存在的瓶颈：距离太远时难以标定远方的目标物。解决方法 之一是以夜间的提灯作为标示，但夜间测地是十分不便且累人的工作，於是「如何在日光 下设立出足以辨识的目标物？」就成了仍待妥善解决的难题。当高斯在一八二○年由吕内 堡（Luneburg）对汉堡（Hamburg）作测量的时候（两地直线距离约五十公里），他发现 一扇教堂屋顶的小圆窗恰巧向他反射出光芒，就产生了以平面镜反射阳光作为目标的念头 。隔年，他设计并委托工匠制出了世上第一具回光仪。 向阳转动 　　回光仪的名字「Heliotrope」源於希腊文，意思是「随着日光转动」，和一些向阳性 的花朵名称有着同样的意含。回光仪主要一组平面镜与望远镜组成。操作时，先用望远镜 精确地对准另一个三角测量点的位置，再定时调整平面镜反射的角度以跟上太阳移动的轨 迹。平面镜尺寸的设计经过估算，实际反射出的日光从二十公里外观测仍有一等星的亮度 ，足以作为合适的日间标定物。在这种仪器的辅助下，高斯得以测量较以前更远的距离， 同时拥有更高的精度。很快地，回光仪成为当时大型测地计画的标准配备。高斯对他发明 的仪器有一段阿基米德式的评语：「把一百片面积1.5平方公尺的平面镜摆在一起，就足 以用回光仪发送出清晰的信号光，直抵月球。」 　　身为一位高明的数学家，高斯很自然地也使用数学方法处理实务上的问题。三角测量 所使用的基本数学相当容易：从一段已知精确长度的基准线作为三角形的底边，在两个端 点测定与特定目标（作为顶点）的夹角，再使用三角函数求得另外两边长。重覆进行相同 的操作，就能将整个目标区域纳入以三角形为基本构造的网格内。然而，该如何使用量测 数据是个大问题，因为误差是无法避免的。即使改善测量技术减少人为误差，仍然无法消 除因各种因素造成的随机误差，这使得对相同目标物的测量会出现不同的数据，而恰当的 数值为何则仍有待决定。 　　面对这个问题，高斯以数学上的「最小平方法」（method of least squares）来消 除误差的影响，这是他在计算谷神星（Ceres）轨道时发展出的方法。他假定了误差会以 钟形曲线的形态出现，并且求出了最小化误差量平方总和的解。实际测量时，就能够使用 额外的量测数据来消除误差。这部份的研究成果至今仍出现在工程领域的大学数学课本里 。即使拥有当时最先进的数学工具，高斯的测地成果仍然不能弥补因为实际作业困难造成 的偏差，使成果无法达到他所期望的精确程度。最终得到的三千多个三角测量点座标被描 绘成汉诺瓦王国的地图，但无法作为非常准确的参考之用。 　　值得一提的是，钟形曲线的图形正好又出现在十元马克的正面。或许那群制钞者真的 把在汉诺瓦进行的测量计画视为高斯一生中最重要的事件。 　　钻研过数学的人都晓得高斯在数学历史上的地位，但是在一般大众的心中，他到底是 什麽时候变得知名、受到普遍的尊崇呢？他的初试啼声来自对於矮行星的观测，因为天文 学研究在当时受到很大的注目，让他成为拥有国际知名度的学者，却也仅限於学术圈。在 这之外，身为一位理论派的数学家，高斯发表的的成果总是充满了让人望之却步的数学式 子，因为领先他的时代而很少受到理解。高斯在数论方面重要的着作《算术研究》（ Disquisitiones Arithmeticae）甚至因为经费短缺而被迫删节出版。 　　也许正是大规模的测地作业提供了机会，它所牵扯到的现实考量、它带来的实际效益 ，让高斯本人的声望跨出了狭小的数学与天文学圈子之外。在接下了测地任务并有了显着 进展後，高斯被视为当时最杰出的测地人员之一，为之後的大地测量立下了新的标准，而 这是个比天文学和纯数学更有实际影响力的领域。这可能就是那些制钞者想要表达的事情 ：高斯在测量方面的成就让他得以真正接触同时代的人们，并且为社会贡献出心力，而这 张十元马克钞票正是荣耀他这一面的奖章。 　　 作者简介 本文作者为国立交通大学电控工程研究所硕士，目前是中华民国陆军测量兵。 此文为CASE专题「我的数学梦」连载第一篇。 -- 台大科学教育发展中心 http://www.facebook.com/NTUCASE http://case.ntu.edu.tw/blog/ --

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