作者microball (无华之果)
看板Math
标题[分析] 关於连续性
时间Wed May 11 07:16:07 2011
x,y, 属於任意拓朴空间。
假设 y = f(x) 是连续函数，且反函数存在，那麽反函数会连续吗？
我想问的是，多弱的条件可以让上面陈述成立。
(例如，假设 x,y 都属於 Banach space，f 是线性函数，那麽会成立。)
＊
一般在 metric space 不一定成立：
考虑 X 使用离散 metric： d(x1,x2)= 0 <=> x1=x2; d(x1,x2)=1 <=> x1不等於x2
Y使用欧式metric。
则 y=f(x) 是连续函数，(取 d(x1,x2) < 1，就等於强迫 x1=x2，可满足任意epsilon)
反函数存在(事实上是全同对应，只是测距的方法不一样)
但是反函数不连续 (令 epsilon=1, 只要 d(y1,y2)>0 都无法满足)
＊
目前猜是，是不是在 Hausdroff 空间下都可以？
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~因为生活已经太复杂了
所以就让我们的爱情单纯吧~
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◆ From: 98.221.193.148
1F：→ recorriendo :metric space不就属於Hausdorff space吗 05/11 07:43
2F：推 yusd24 :不是，还需要 X compact 05/11 08:58
3F：→ yusd24 :例子: X=(0,1] Y=单位圆, f(t)=(cost,sint) 05/11 08:59
4F：→ yusd24 :反函数存在但不连续 05/11 09:00
5F：→ yusd24 :抱歉是 (0,2pi].. 05/11 09:01