※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之铭言： : ※ 引述《YmemY (*＊米)》之铭言： : : 有个积分: : : 1 ＿＿＿ : : ∫ √2-x^2 dx 令x=√2cosθ　上下限要改成怎样才对呢？ : : 0 : : 是π/2 ~ π/4 还是 -π/2 ~ -π/4 ?? : : 我认为dx是正的，如果上下限用第一种改法，dθ会是负的，所以 : : dx= √2(-sinθ)(-dθ) 这样对吗? : : 反之，第二种上下限因为dx和dθ都是正的，所以不用加负号． : : （如果我的想法正确的话，书上的解答就错了～） 我做一次喔~~ 1. θ：π/2 ~ π/4 1 ＿＿＿ ∫ √2-x^2 dx , x=√2cosθ 0 π/4 ＿＿＿＿＿＿ =∫ √2-2(cosθ)^2 √2(-sinθ)dθ π/2 π/4 =∫ √2│sinθ│√2(-sinθ)dθ π/2 因为在此区间 sinθ is positive π/4 = 2∫ (sinθ)(-sinθ)dθ π/2 π/4 = 2∫ -(sinθ)^2 dθ π/2 2. θ：-π/2 ~ -π/4 1 ＿＿＿ ∫ √2-x^2 dx , x=√2cosθ 0 -π/4 ＿＿＿＿＿＿ =∫ √2-2(cosθ)^2 √2(-sinθ)dθ -π/2 -π/4 =∫ √2│sinθ│√2(-sinθ)dθ -π/2 因为在此区间 sinθ is negative -π/4 = 2∫ (-sinθ)(-sinθ)dθ -π/2 -π/4 = 2∫ (sinθ)^2 dθ -π/2 算一算答案是一样的 ----------------------------------- 在Change of variables 的证明： 假设 g ： [p,q] → R is differentiable f ： [a,b] → R is continuous g([p,q]) 包含於 [a,b] we want to prove b q ∫ f(x)dx = ∫ f(g(t))g'(t)dt , where g(p)=a , g(q)=b a p Since f is cont. By F.C.T. there exists F€C^1([a,b]) s.t. F'(x) = f(x) so Left hand side say： b b ∫ f(x)dx = ∫ F'(x)dx = F(b) - F(a) a a and Right hand side say： q q q ∫ f(g(t))g'(t)dt = ∫ F'(g(t))g'(t)dt = ∫ d(F(g(t)))/dt dt p p p q = F(g(t))│ p = F(b) - F(a) 看证明过程 g(p) = a , g(q) = b 没有规定不能 g(p) = g(p') = a --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 111.251.225.251