作者jameschou (DOG)
看板Math
标题Re: [中学] 三角函数证明
时间Mon May 9 01:04:16 2011
※ 引述《icu (这是可以说的秘密)》之铭言：
: 0<A,B,C<π
: 证
: sinA+sinB+sinC ≦ 3 sin[(A+B+C)/3]
: 完全不知道怎麽下手
: 谢谢
因为sin函数在0~π之间是凸函数
所以 (1/2)(sinA + sinB) ≦ sin(A+B/2)
也可以用另一个角度想
就是和差化积:
A + B A - B
sinA + sinB = 2sin(-------)cos(-------)
2 2
A - B
因为cos(-------) ≦ 1 (cos函数的性质)
2
A + B
所以 sinA + sinB ≦ 2sin(-------)
2
同理对於任一角度D , 0<D<π
A+B+C+D
则 sinA + sinB + sinC + sinD ≦ 4sin(---------)
4
A+B+C
令 D = ------- , 则D还是介於0~π之间
3
A+B+C A+B+C
=> sinA + sinB + sinC + sin(-------) ≦ 4sin(-------)
3 3
A+B+C
=> sinA + sinB + sinC ≦ 3sin(-------)
3
得证.
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 140.113.139.82
1F：推 icu :这个厉害。感谢各位~也让我学到艰深不等式XD.. 05/09 01:14