作者scan33scan33 (亨利喵)
看板Math
标题Re: [分析] 能否构造出满足以下条件的函数序列
时间Sat Apr 30 19:58:20 2011
※ 引述《keroro321 (日夕)》之铭言：
: Is it possible to construct a sequence {f_i} of continuous functions
: such that ( f_i:|R—>|R )
: (i) f_i ≧ 0 for all i .
: (ii) { x ∣ lim inf f_n(x) = ∞ } = Q ( all rational numbers in |R )
: n->∞
: 先感谢各位板友的回应 !
Q_Q 构造看看:(概念写一写？)
首先 想像一个function
g(x) = { r(x) for some r > 0, if x in (n-0.1,n+0.1), n 是 0,1,2,3,4.....
{ 0, otherwise
把他想像成这样好了：
/\ /\
/ \ / \
____/ \_______/ \______
0.9 1 1.1 1.9 2 2.1
然後我们现在想要用这种r,来当作以下的r唷！ 就是在中间peak是1,两边递减到0.
构造开始！
因为有理数countable,不妨令count的顺序q_1,q_2 .... 可以count完。
那想像 f_n(x) = { r(x), if x in (q-0.1^n,q+0.1^n) q in {q_1,q_2, ... q_n}
{ 0, otherwise
对有理数x,当n够大 f_n(x) = 1,
对无理数y,如果存在有理数x使得, |y-x| < 0.1^n,
但是可以取到m>n,使|y-x| > 0.1^m, 让f_m(y) = 0.
(这里应该要对q_i的列举顺序动一下手脚)
=> 0 是 {f_m(y)}的一个limit point
(加上f_n>=0的条件)
=> liminf f_n(y) = 0
所以我们知道可以：
{ x ∣ lim inf f_n(x) = 1 } = Q ( all rational numbers in |R )
然後对同样的函数乘以n，得到
{ x ∣ lim inf n*f_n(x) = ∞ } = Q ( all rational numbers in |R )
故得证.......
有错请指正，谢谢
--
I'm
CAT (Combinatorics, Analysis, and Topology)
About Me :
http://columbia.edu/~mt2767
想找程式或数学家教，还是发包程式案件吗？
http://w.csie.org/~b95028/parttime.php
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.90.67
※ 编辑: scan33scan33 来自: 140.112.90.67 (04/30 20:37)
1F：→ scan33scan33:q_i的列举方式应该要构造一下，不然怪怪的XD 04/30 21:01
2F：→ keroro321 :先谢谢你的回应,感谢啊,我看一下. 04/30 21:46
3F：→ scan33scan33:我觉得不够严谨耶XD 可是我想睡了XD 想到会再加强 04/30 21:47
4F：→ scan33scan33:谢谢 04/30 21:47
5F：→ wickeday :虽然看的懂要表达的是什麽，不过函数的写法怪怪的 04/30 21:54
6F：→ wickeday :这样写非零的部分都只能是r(x)，应该不连续… 04/30 21:55
7F：推 keroro321 :我大概知道你表达的概念,但无理数部分有很大疑虑 04/30 22:46
8F：→ keroro321 :对"一"个无理数可以对q_i顺序动手脚 04/30 22:46
9F：→ keroro321 :但对"所有无理数",要如何说明呢? 04/30 22:47
10F：→ keroro321 :我觉得想要找这样子的函数序列(如果能找的出) 04/30 22:47
11F：→ keroro321 :最难的就是如何确保 f_n(无理数) 对任意N 04/30 22:47
12F：→ keroro321 :总是存在够大的n(>N) , 可以找到固定上界 . 04/30 22:48
13F：→ keroro321 :(比如在这你希望是f_n(无理数)=0 在总是够大的某些n) 04/30 22:49
14F：→ keroro321 :顺便补一下 这是Rudin ,real and complex analysis 04/30 22:51
15F：→ keroro321 :ch5 Exercise 20 (c)习题 04/30 22:53
16F：→ scan33scan33:我昨天晚上税叫的时候想了一下 05/01 06:01
17F：→ scan33scan33:就是，基本上就用对角线列法。 05/01 06:03
18F：→ scan33scan33:就是分子+分母等於定值 05/01 06:03
19F：→ scan33scan33:那如果现在 10^m < |r-x| < 10^n, 05/01 06:04
20F：→ scan33scan33:令x=a/b,接下来每个数字也会跳个1/(a+b)这麽大格 05/01 06:10
21F：→ scan33scan33:这个东西是linearly成长，追不上指数的10^m 05/01 06:10
22F：→ scan33scan33:大概这样吧！XD 乱讲乱讲XD 有时间再来详细写一下XD 05/01 06:11
23F：→ scan33scan33:抱歉有点乱orz 有一段时间没念分析了Q_Q 05/01 06:12
24F：→ keroro321 :谢谢回应 我也觉得对角线可以 今早有做看看 还在检查 05/01 14:31