作者phs (世故人情情难还...)
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标题Re: [中学] 三题期望值
时间Tue Apr 26 12:54:23 2011
※ 引述《ii0 (ii0)》之铭言：
: 有两个期望值不太懂，希望版友们指教
: 1. n大於等於2，1号到n号签各一支，每支抽中机会均等，任抽二只，其差的绝对值的期
: 望值为？
: Ans.(n+1)/3
(解):
1号到n号签,其差的绝对值最小为1,最大为 n-1
任抽两支, 设抽中编号为 a 和 b ,则
|a-b| = 1,2,3.......,n-1
|a-b| = 1 => {a,b}={1,2},{2,3},......{n-1,n} 共 (n-1)组
|a-b| = 2 => {a,b}={1,3},{2,4},......{n-2,n} 共 (n-2)组
.....
|a-b| = n-1 => {a,b}={1,n} 共1组
(n-1) (n-2) 1
故 所求 = 1*-------- + 2*-------- + .........+ (n-1)*-------
C(n,2) C(n,2) C(n,2)
1
= --------sum_{k=1}^{n-1} k(n-k)
C(n,2)
1 (n-1)n (n-1)n (2n-1)
= -------- [n(------) - -------------]
C(n,2) 2 6
1 n(n-1) n + 1
= --------- ------ [3n -(2n-1)] = -------
n (n-1) 6 3
--------
2
2.带中有1至10球各一个，自袋中一次取出二个，求其号码机的期望值为？
: Ans. 88/3
(解):
设取出编号为a及b 两球,则
a = 1 , b = 2,3,.....,10 => ab = 2,3,4,5,6,7,8,9,10
a = 2 , b = 3,4,.....,10 => ab = 6,8,10,12,14,16,18,20
a = 3 , b = 4,5,.....,10 => ab = 12,15,18,21,24,27,30
a = 4 , b = 5,6,.....,10 => ab = 20,24,28,32,36,40
a = 5 , b = 6,7,8,9,10 => ab = 30,35,40,45,50
a = 6 , b = 7,8,9,10 => ab = 42,48,54,60
a = 7 , b = 8,9,10 => ab = 56,63,70
a = 8 , b = 9,10 => ab = 72,80
a = 9 , b = 10 => ab = 90
1
故号码积期望值 = ---------(2+3+4+5+7+9+14+15+16+21
C(10,2) +27+28+32+35+36+42+45+48
+50+54+56+60+63+70+72+80+90)
2
+ -------- (6+8+10+12+18+20+24+30+40)
C(10,2)
= (1/45)(984) + (2/45)(168)
= 88/3
在下想问的是，这题如果是用5.5*5.5的话，就会是错的
~~~~~~~不懂?
不好意思,小弟只会土法练钢:P
但是如果是下面这一题的话
: 3.若由袋中一次取出3球，号码和为k，可得k元，则其期望值为？
(解):
设取出编号 a , b , c 三球
{a,b,c} = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
6 =< a+b+c =< 27
1
所求期望值 = --------[1*(6+7+26+27) + 2*(8+25) + 3*(9+24)
C(10,3) + 4*(10+23) + 5*(11+22) + 7*(12+21)
+ 8*(13+20) + 8*(14+19) + 10*(15+18)
+ 10*(16+17)]
= (1/120)(33)*(2+2+3+4+5+7+8+8+10+10)
= 649/40
这题用(5.5)*3的话，就会是对的
:
不知道为什麽会这样，第三题可以直接算，第二题不行？
: 先谢谢大家的回答
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◆ From: 140.112.101.149
※ 编辑: phs 来自: 140.112.101.149 (04/26 15:27)
※ 编辑: phs 来自: 140.112.101.149 (04/26 16:17)
1F：推 yueayase :(2)看起来是因为,两颗球所出现的号码,不是独立的 04/26 16:38
2F：→ yueayase :因为你同时取两球,可是第一颗球的点数,会使第二颗球 04/26 16:39
3F：→ yueayase :点数,少一种选择 Ex: 第一颗球是1的机率且第二颗是2 04/26 16:40
4F：→ yueayase :的机率是, 1/(10x9) = 1/90,但如果你把两颗球分开看 04/26 16:41
5F：→ yueayase :第一颗球是1的机率是1/10(不考虑第二颗球的存在) 04/26 16:41
6F：→ yueayase :第二颗球也同理,所以P(B1,B2) 和 P(B1)xP(B2)的值 04/26 16:42
7F：→ yueayase :不同 => B1, B2不独立 => 不可用E(B1B2)=E(B1)E(B2) 04/26 16:43
8F：→ yueayase :(3)其实可以看成B1,B2,B3三颗球 04/26 16:43
9F：→ yueayase :平均而言,B1出现点数的期望值=(1+2+...+10)/10=5.5 04/26 16:44
10F：→ yueayase :其余也同理E(B2)=E(B3)=5.5=E(B1) 04/26 16:45
11F：→ yueayase :那其实要求的是E(B1+B2+B3) = E(B1)+E(B2)+E(B3) 04/26 16:46
12F：→ yueayase :所以就和5.5*3相同了 04/26 16:46
13F：→ phs :恩！我了解你意思...但我发现第三题我答案是16.225 04/27 00:18
14F：→ phs :跟 5.5*3 = 16.5 有出入...这是怎麽一回事？ 04/27 00:19
※ 编辑: phs 来自: 118.168.207.13 (04/27 00:35)
15F：→ yueayase :不清楚,但你的过程好像没错... 04/27 02:20
16F：→ yueayase :不知道是不是因为,同时取球的过程,会影响E(B2),E(B3) 04/27 02:21
17F：→ yueayase :使他们不是5.5 04/27 02:22
18F：→ yueayase :你好像没有列完.怎麽只有118种可能? 04/27 03:22
19F：→ yueayase :1x4+2x2+3x2+4x2+5x2+7x2+8x2+8x2+10x2+10x2=118 04/27 03:23
20F：→ yueayase :应该没有列完,而5.5x3=16.5应该是对的 04/27 03:23