作者JohnMash (Paul)
看板Math
标题Re: [中学] 两题二项分配的题目
时间Fri Apr 15 15:55:37 2011
※ 引述《hua825 (廉价劳工)》之铭言：
: 不好意思又来麻烦各位了
: 有两题题目算到一半都有一点卡卡的
: 第一题是:
: 若a、b、n皆为正整数，且n小於等於a、b，试证
: n
: C(a+b , n) = sigma C(a,k) * C(b,n-k) ，
: k=0
Denote Σ_{p=a}^{b}≡Σ(p;a,b)
A=(x+1)^(a+b)=Σ(n;0,a+b) C(a+b,n) x^n
B=(x+1)^a=Σ(k;0,a) C(a,k) x^k
C=(x+1)^b=Σ(p;0,b) C(b,p) x^p
BC=Σ(k;0,a) Σ(p;0,b) C(a,k) C(b,p) x^{k+p}
In BC, the coefficient of x^n is
Σ(k;0,n) C(a,k) C(b,n-k)
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A=BC
: 第二题是:
: 证明 ( n + 3/2i )^n 对所有的 n 是正整数的话
: 实部与虚部都是正数。
Fact: tanθ>θ whenever 0<θ<π/2
Let n+3i/2=r cosθ+ i r sin θ
where r=√(n^2+9/4), θ=tan^{-1} (3/(2n))
(n+3i/2)^n=r^n(cos nθ+i sin nθ)
0< nθ < n tanθ=n *3/(2n)=3/2<π/2
hence, cos nθ>0, sin nθ>0
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※ 编辑: JohnMash 来自: 112.104.144.112 (04/15 16:39)