作者ckchi (飘)
看板Math
标题Re: [中学] 极小值
时间Wed Apr 13 08:25:39 2011
※ 引述《JohnMash (Paul)》之铭言：
: 试求以下三题的极小值
: (1) 4x^2+9y^2
: (2) 4x^2+4xy+9y^2
: (3) 4x^2+4xy+9y^2-12x-8y
想想还是用回的比较清楚
其实从 (1) 到 (2) 再到 (3) 算是一个引导的过程
这题的重点在於：
实数的平方 最小值为
0
因此 (1) 很简单，
x=0 且 y=0 时，4x^2+9y^2 有最小值 0
(2) 一样化成平方相加
4x^2+4xy+9y^2
=
4x^2+4xy+y^2+8y^2
=
(2x+y)^2+8y^2
因此 2x+y=0 且 y=0 时 (即 x=0 且 y=0 时)
4x^2+4xy+9y^2 有最小值 0
(3) 从(2)继续往下走
因为
4x^2+4xy+9y^2-12x-8y =
(2x+y)^2+8y^2-12x-8y
我们可以找一个 (2x+y+a)^2+8(y+b)^2 = (2x+y)^2+8y^2-12x-8y+k (a,b,k都是常数)
(2x+y+a)^2 + 8(y+b)^2
=
(2x+y)^2+2a(2x+y)+
a^2 +
8y^2+16by+
8b^2
=
(2x+y)^2+8y^2+4ax+(2a+16b)y+
(a^2+8b^2)
=
(2x+y)^2+8y^2-12x-8y +k
比较系数：
4a=-12, a=-3
2a+16b=-8, 16b=-2, b=-1/8
k = a^2+8b^2 = 9+8/64 = 9+1/8 = 73/8
所以：
4x^2+4xy+9y^2-12x-8y
=
4x^2+4xy+9y^2-12x-8y+73/8-73/8
=
(2x+y-3)^2+8(y-1/8)^2 -73/8
因此当 2x+y-3=0 且 y-1/8=0 时，
4x^2+4xy+9y^2-12x-8y 有最小值 -73/8
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 140.116.127.158
上个色 XD
※ 编辑: ckchi 来自: 140.116.127.158 (04/13 08:39)
1F：推 attomahawk :推荐这个 引导式思考流程。 : ) 04/13 09:13
※ 编辑: ckchi 来自: 140.116.89.133 (04/13 09:41)