作者kyoiku (所有狗类的主人)
看板Math
标题Re: [其他] 武器冲星机率问题
时间Sat Apr 2 07:26:15 2011
: ※ 引述《kyoiku (所有狗类的主人)》之铭言：
: : 武器冲星规则：
: : 1. 每次需用一张 "对武器施法的卷轴" 对武器冲星，
: : 冲星成功则武器星数 + 1，
: : 冲星失败则武器星数 - 1，
: : 武器最低为一星。
: : 2. 1 星冲到 2 星之机率 80%
: : 2 星冲到 3 星之机率 70%
: : 3 星冲到 4 星之机率 60%
: : 4 星冲到 5 星之机率 50%
: : 想请问大家武器从 1 星冲到 5 星平均要使用几张武卷？
: : 我的想法是把 "刚好使用 n 张武卷从 1 星冲到 5 星的机率 p(n) 算出"
: : 然後 Σnp(n) 就是了。但是好复杂啊，
/0.2 0.8 0 0 0 \
|0.3 0 0.7 0 0 |
P = | 0 0.4 0 0.6 0 | 是机率转移矩阵
| 0 0 0.5 0 0.5|
\ 0 0 0 0 1 /
w = (1 0 0 0 0) 是初期机率状态分布向量
设 P 之对角化 = ADB,
其中 A = (a_ij), B = (b_ij) = A^-1, D = diag(λ_1,λ_2,λ_3,λ_4,λ_5)
计算得：
1) λ_1 = 1, 其特徵向量 v_1 = (1 1 1 1 1)^t
2) 0.8 < λ_2 < 0.9
3) λ_3 = 0.4, 其特徵向量 v_3 = (28 7 -8 -10 0)^t
4) -0.3 < λ_4 < -0.2
5) -0.9 < λ_5 < -0.8
定义 w_n = wP^n = wA(D^n)B, (w_n)^(k) 为 w_n 之第 k 分量
则 (w_n)^(5) - [w_(n-1)]^(5) 代表刚好使用 n 张武卷从 1 星冲到 5 星的机率
平均张数 = Σ n{(w_n)^(5) - [w_(n-1)]^(5)}
又 (w_n)^(5) = (a_11)(b_15) + Σ_[i from 2 to 5] (a_1i)(b_i5)(λ_i)^n
=> (w_n)^(5) - [w_(n-1)]^(5)
= Σ_[i from 2 to 5] (a_1i)(b_i5)(λ_i - 1)(λ_i)^(n-1)
所以平均张数 = ΣΣ_[i from 2 to 5] (a_1i)(b_i5)(λ_i - 1) * n * (λ_i)^(n-1)
= Σ_[i from 2 to 5] [(a_1i)(b_i5)(λ_i - 1)Σ n(λ_i)^(n-1)]
= Σ_[i from 2 to 5] [(a_1i)(b_i5)(λ_i - 1)(λ_i - 1)^(-2)]
= Σ_[i from 2 to 5] [(a_1i)(b_i5)(λ_i - 1)^(-1)] ... 答案
把 a_1i, b_i5, λ_i 的近似值求出来那平均张数就出来了，
我电脑之前 MATLAB 重灌洗掉了，先到这......
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◆ From: 125.229.240.137
1F：→ kyoiku :有点奇怪, 因为实际上 (w_i)^(5) = 0, i = 1,2,3 04/02 07:38
2F：→ kyoiku :(w_4)^(5) = 0.168, 但是算式会 match 吗？ 04/02 07:39
※ 编辑: kyoiku 来自: 125.229.240.137 (04/02 07:41)