作者LimSinE (r=e^theta)
看板Math
标题Re: [中学] 递回数列证明
时间Thu Mar 31 23:27:46 2011
※ 引述《Intercome (今天的我小帅)》之铭言：
: ___ __ __
: 若n属於正整数，利用递回数列关系求证√1+√2+√3+...+√n < 2
r = sqrt
设A(k,m) = r(k+r((k+1)... r(k+m) ，从k开始到k+m结束
Claim: A(k,m) < k+1 for all k
m=0时，r(k)<k+1 OK
设m=p 时 A(k,p) <k+1 for all k
则 A(k,p+1) = r(k+ A(k+1,p)) < r(k+k+2) = r(2k+2) <= k+1
故得证！
事实上
B(k,m) = r(k^2 + r((k+1)^2 ... r((k+m)^2) ，类似A(k,m)，只是每一项都换成平方
Claim: B(k,m) < k+1 for all k
m=0时，r(k^2)=k<k+1
设m=p时 B(k,p)<k+1 for all k
则 B(k,p+1) = r(k^2+B(k+1,p)) <r(k^2+k+2) <= k+1
(有人提到B(1,m)<2 这个结果，不过没有给证明)
一样的方法，得到更强的结果
对B来说，这个估计不错，因为 k<B(k,m)<k+1
可以看出A则是一个很松的不等式
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This is a stupid example.
I am stupid and so are you.
f(x)=sin^2 αx
by the Fundamental Theorem of Algebra
a= 3√2
q.e.d.
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 67.194.14.71
1F：→ LimSinE :2^n也可以用类似的方式 04/01 01:12