作者xcycl (XOO)
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标题Re: [中学] 证明根号为无理数
时间Thu Mar 31 19:19:06 2011
虽然偏离主题了, 不过我解释一下这证明没有用到 ~~p -> p 或是等价的排中律。
在定义无理数之前，得先定义实数，然後把有理数
嵌到实数里头，然後再定义无理数为「不是有理数的实数」。
而证明不是有理数的直接证明，就是证明
「若他是有理数，则导致矛盾」
（因为 ~p 同等於 p -> false）
至於这个叫不叫做反证法，还是归缪证法我不是很在意，
因为混用的情形很多，但这证法是构造式的就是了。
（但若严格来说，要完全构造式的话，得用不同的方式定义实数）
非构造的证明则是用 ~~p -> p 或是 p v ~p 来证明。
举例：存在 无理数 a, b 使得 a^b 为有理数。
（提示利用根号二为无理数，用排中律证明）
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◆ From: 140.114.201.140
※ 编辑: mk426375 来自: 140.114.201.140 (03/31 01:34)
1F：→ a21802 :p=qk吧 03/31 01:34
感谢更正
2F：推 secondsee :3Q罗~ 03/31 01:36
※ 编辑: mk426375 来自: 140.114.201.140 (03/31 01:40)
3F：→ xcycl :为甚麽老是有人觉得这是反证法??? 03/31 03:25
4F：→ xcycl :无理数的定义就是「不是有里数」啊 ... 03/31 03:26
5F：推 Refauth :因为在学到"无理数"这东东之前 台湾人都是学有理数 03/31 05:23
6F：→ Refauth :所以也就自然而然地认为该数应该也是一种有理数 03/31 05:24
7F：→ Refauth :然後我们数学家说不对 这无理数就是不同 因为不能化 03/31 05:24
8F：→ Refauth :成分数 这件事情对於用有理数用了七年的台湾学生而言 03/31 05:25
9F：→ Refauth :是一件很难接受的事情 而因此对於证明一个数不能化成 03/31 05:26
10F：→ Refauth :分数 对他们而言根本就好像是从习惯中找出"反例"一样 03/31 05:26
11F：推 jacky7987 :我记得数学拾贝里面有超多种证法XD 03/31 09:09
12F：推 ckchi :请问为什麽这个不是反证法? 03/31 09:15
13F：→ ckchi :想要证明 A 成立 (√2为无理数) 03/31 09:15
14F：→ ckchi :所以假设A不成立 然後推翻 不是吗? 03/31 09:17
15F：→ ckchi :还是反证法的定义不是这样子的? 谢谢解惑 03/31 09:18
16F：推 racer20689 :归谬证法。 03/31 12:02
17F：→ eqcolouring :一直弄不懂反证法及归谬证法差别在哪里??? 03/31 12:21
18F：→ eqcolouring :可以请知道的人解释这两个证法的不同吗?谢谢! 03/31 12:22
19F：推 hectorhsu :两种名称一样吧@@ 03/31 12:43
20F：→ hectorhsu :另外 不是台湾人学有理数什麽的 03/31 12:43
21F：→ hectorhsu :台湾高中生有理数和无理数是同时学的 03/31 12:43
22F：→ hectorhsu :然後本来无理数就是用不是有理数定义的 03/31 12:43
不过高中生可没学实数怎麽定义咧。
23F：推 WINDHEAD :要先有一个母群体叫做实数,才能用"不是有理数"来定义 03/31 13:22
24F：→ WINDHEAD :在此之前,我们可以幻想可能有一种数,我们永远也无法 03/31 13:22
25F：→ WINDHEAD :知道他能不能写成有理数的长相.... 03/31 13:23
26F：推 WINDHEAD :当然心智正常的高中生不会去想这种东西啦XD 03/31 13:27
27F：→ keith291 :p^2|q^2=>p|q? 这似乎不是trivial 03/31 13:39
请看条目的讨论喔。这个没学过证明论之前我也搞不清楚，Wikipedia 上
这几个条目也常搞混，例如在 Proof by contradiction 的条目下，
定义他为 ( ~P -> false ) -> P （也就是 ~~P -> P），但是底下的例子又举根号二。
29F：推 cacud :我记得反证法是本来要证p=>q，然後证了~q=>~p 03/31 16:29
30F：→ cacud :矛盾证法(归谬证法)则是证 p^~q -><- 03/31 16:31
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◆ From: 78.109.182.40
31F：推 recorriendo :这个证明是 p→⊥ 而redutio ad absurdum是 04/01 01:50
32F：→ recorriendo :((p→⊥)→⊥)→p 04/01 01:51
33F：→ recorriendo :两个有本质上的不同 甚至有一派证明论者不相信RAA 04/01 01:53
34F：→ xcycl :从 Curry-Howard isomorphism 的角度来看 04/01 05:40
35F：→ xcycl :RAA 根本不能产生 proof term 啊 04/01 05:41
36F：推 hcsoso :竟然在这边看到 Curry-Howard correspondence... 推 04/03 00:34
37F：推 suhorng :推...proof of negation 跟 proof by contradiction 08/21 21:22