作者tester (tester)
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标题Re: [线代] 矩阵
时间Thu Mar 31 02:37:12 2011
※ 引述《gauss760220 (章鱼)》之铭言：
: 请问一下
: det(A*B)为何等於det(A)*det(B)?
: 该式如何证明?
: 想多了解一些线代观念性的问题
由行列式公式知 det(A) 对每个component A_ij都是linear
记 |A| = det(A)
有 d |A| = det( dA_ij ) = a^ij dA_ij
(重覆index表summation, a^ij为A_ij之余因子)
令 C = A*B
已知 C = A = B = I 时, 有
|C| = |A|*|B|
两边取differential
LHS = d |C| = c^ij dC_ij = c^ij ( A_ik dB_kj + dA_ik B_kj )
RHS = |A|*d|B| + |B|*d|A| = |A| b^kj B_kj + |B| a^ik dA_ik
用
c^ij / |C| = (C^-1)^ji
C^-1 = B^-1 A^-1
得
d|C| / |C| = (C^-1)^ji (A_ik dB_kj + dA_ik B_kj)
= (B^-1)^jk dB_kj + (A^-1)^ki dA_ik = d ( |A||B| ) / |A||B|
=> d ( |C|/|A||B| ) = 0
故 |C|/|A||B| = 常数 = 1
对於 det = 0的情况可用continuity argument
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