※ 引述《rachel5566 (rachel5566)》之铭言： : 大家好，我有两题复变积分请教: : 1. 这题上次有描述过，我把我的过程写清楚: : ∞ : ∫ e^(-x^2) dx = √π : -∞ : sol> 取实轴负无限大到无限大，再绕半径无限大的上半圆回去的路径C，那麽 : ∞ : ∮ e^(-z^2) dz = ∫ e^(-x^2) dx + ∫ e^(-z^2) dz = 0 (不包含奇点) : C -∞ Cr : (r→∞) : 分析等号右边第二项: : z = δe^(iθ) : dz = iδe^(iθ)dθ π : ∫ e^(-z^2) dz ================== ∫ e^[-(δ^2)e^(i2θ)] iδe^(iθ)dθ : Cr 0 : π iδe^(iθ)dθ : = ∫ ────────── 当δ→∞: : 0 e^[(δ^2)e^(i2θ)] 恩,分子趋於∞没错 ,不过分母有趋於无限吗, 来看看 : e^[(δ^2)e^(i2θ)] = exp[(δ^2)cos2θ] exp[i(δ^2)sin2θ] 是个 绝对值exp[(δ^2)cos2θ] , 幅角(δ^2)sin2θ 的复数. 其中 0≦θ≦π , 所以 cos2θ 在 π/4 < θ < 3π/4 时会是负的 . 因此, 当δ趋於∞时 , 分母的绝对值exp[(δ^2)cos2θ] 并没有都趋於∞ . 事实上, 在 π/4 < θ < 3π/4 时 , 分母反而趋於零 ,是 ∞/0 = ∞ 的形式. 所以 , 下面的罗必达也就不适用於 π/4 < θ < 3π/4 了. : iδe^(iθ) H ie^(iθ) : lim ────────── = lim ─────────────── = 0 : δ→∞ e^[(δ^2)e^(i2θ)] δ→∞ 2δe^(i2θ)e^[(δ^2)e^(i2θ)] : π : ∫ e^(-z^2) dz = ∫ e^[-(δ^2)e^(i2θ)] iδe^(iθ)dθ = 0 : Cr 0 这推论只适用於 0<θ<π/4 和 3π/4 < θ < π , 所以左右的两个1/8大圆的线积分的确趋於零没错 . 但中间的1/4大圆就不是零了 . : ∞ : ∴ ∫ e^(-x^2) dx = -∫ e^(-z^2) dz = 0 : -∞ Cr : 不晓得哪边做错了? 这样OK吧. 喔对,你可能会问那这样子中间的1/4大圆线积分值不是发散吗 , 事实上 我们只是无法说明他等於零而已 , 虽然被积函数在δ→∞时虽然的确爆掉, 但也可能正负跳动是±∞ ,相加时就互相消掉了 , 所以积分值是有可能收敛的. 事实上,由此题答案可知 , 他等於 -√π . : 2. 这题课本的方法是用rectangular contour : ∞ e^(ax) π : ∫ ───── dx = ───── , 0 < a < 1 : -∞ 1 + e^x sin(aπ) : 而我的路径C是从实轴负无限大到无限大，然後绕下半圆回去 : e^(az) ∞ e^(ax) e^(az) : ∮ ───── dz = ∫ ───── dx + ∫ ───── dz = 2iπa : C 1 + e^z -∞ 1 + e^x Cr 1 + e^z -1 : (r→-∞) 我个人习惯是写 r →∞ ,然後 π≦θ≦ 2π . 给你参考. : 其中，residue经计算: : -e^(az) │ : a = ──────────────────── │ = -e^(-iaπ) : -1 1 + [(z+iπ)/2!] + [(z+iπ)^2/3!] + ... │z=-iπ 其实 z = -3iπ, -5iπ, -7iπ等等, 也都是极点,他们的留数也需要计算. 所以标准解法用矩形是有原因的. : 而 : z = δe^(iθ) : e^(az) dz = iδe^(iθ)dθ 0 e^[aδe^(iθ)] : ∫ ───── dz ================== ∫ ───────── iδe^(iθ)dθ : Cr 1 + e^z π 1 + e^[δe^(iθ)] : 当δ→-∞，积分似乎是发散的 有吗 , 要分段讨论 .δ→-∞ , 当 0<θ<π/2 时 , δe^(iθ) 的实部 → -∞ , 所以e^[aδe^(iθ)]→0 , 分母趋於1 , 分子是δ e^[aδe^(iθ)] ,是 ∞乘0 . 罗必达後→0 , 所以 0<θ<π/2 的线积分是0 . 然後 π/2 < θ < π 时 , δe^(iθ) 的实部 → +∞ , 所以e^[aδe^(iθ)] → ∞ . 同除e^[aδe^(iθ)]後 = iδe^(iθ) ────────── , 分子趋於 ∞ , 分母趋於1. 恩,无法说明他是零. e^[-aδe^(iθ)] + 1 这个积分可能爆掉,也可能收敛 ,要看前面的各个极点的留数加总是否收敛. 不过留数加总我懒得算. 事实上,当碰到e^(z)的函数时, 若用极座标转换 = e^(Rcosθ) e^(iRsinθ) 大半圆上通常不会都收敛, 所以不太会用半圆的contour , 如此题 ,是用矩形. : 请问我的算式过程哪边有错误? : 先感谢各位的解答m(_ _)m --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 112.104.16.234