1. 题目是计算下面那个积分值，我的过程也写在下面 (a) ∞ cosx dx ∞ e^(ix) dx ∫ ────── = Re ∫────── -∞ x^2 + a^2 -∞ x^2 + a^2 e^(iz) dz ∞ e^(ix) dx e^(iz) dz => ∮────── = ∫────── + ∫ ────── = 2iπa C z^2 + a^2 -∞ x^2 + a^2 Cr z^2 + a^2 -1 路径C是从实轴负无限大积到无限大，再由无限大绕上半圆回去(Cr,r→∞) 而由Jordan's lemma，[1/(z^2 + a^2)]→0 当 |z|→∞，则无穷大上半圆积分值为0 计算residue: e^(iz) │ e^(-a) a = ─────│ = ──── -1 z + ia │z=ia 2ia 所以 ∞ e^(ix) dx e^(-a) πe^(-a) ∫────── = 2iπ──── = ───── -∞ x^2 + a^2 2ia a ∞ cosx dx ∞ e^(ix) dx πe^(-a) ∫ ────── = Re ∫────── = ───── -∞ x^2 + a^2 -∞ x^2 + a^2 a 现在，如果将x取代成kx，那个答案应该会是: ∞ cos(kx) dx ∞ e^(ikx) dx πe^(-ka) ∫ ────── = Re ∫────── = ───── -∞ x^2 + a^2 -∞ x^2 + a^2 a 可是Mathematica给我的答案却是: (详解给的答案跟我的一样) ∞ cos(kx) dx πcosh(ka) ∫ ────── = ────── -∞ x^2 + a^2 a 请问我的过程哪里有问题? 还是有什麽细节我没注意到的呢? 还有第(b)小题也是类似的积分: ∞ x sinx dx ∫ ────── = πe^(-a) -∞ x^2 + a^2 而 ∞ x sin(kx) dx ∫ ─────── = πe^(-ka) -∞ x^2 + a^2 Mathematica给我的答案，上面那个是对的，但下面的积分值却是-πsinh(ka) 2. 一个很常见的积分，一般都是用重积分和极座标的技巧解: ∞ ∫ e^(-x^2)dx = √π -∞ 我用类似1.的路径去积分，得到的积分值却是0 请问这题可以怎麽用复变的方法解呢? 先感谢各位的解答m(_ _)m -- Maxwell's equations in the matter: ┌───┐ ┌───┐ ┌──────┐┌──────┐┌────┘ → │┌──────┘ → │ │ → ││ → ││ → δＢ ││ → → δＤ │ │ ▽‧Ｄ = ρ││ ▽‧Ｂ = 0 ││▽╳Ｅ = －── ││ ▽╳Ｈ = Ｊ + ── │ │ f││ ││ δt ││ f δt │ └──────┘└──────┘└────────┘└──────────┘ --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 140.112.211.87 追加一题: ∞ ∫ sin^2(x)/x^2 dx -∞ 我用类似的方法求得答案π，Mathematica给我的答案也是π 但是课本上的答案却是π/2 不知道是哪个正确? ※ 编辑: rachel5566 来自: 140.112.211.87 (03/25 00:51)