※ 引述《sales12345 (111)》之铭言： : 我在百度(大陆网站)上看到如下的不等式, 有人提示作法但我还是作不出来, : 想请教各位的想法,谢谢. : 题目: a,b,c皆为正数且二次方程式ax^2+bx+c=0有实根, 求证: : (1)max(a,b,c) >= 4(a+b+c)/9 固定b, 4(a+b+c)/9 = 4b/9 + 4(a+c)/9 题目简化为在 (b/2)^2 >= ac 的条件下求 a+c 的上界 (与 a,b,c 有关) 而在 (b/2)^2 > ac 时的点 (a,c), 其 a+c 之值会小於 (b/2)^2 = ac 时的某点 a,c 之和. (画水平或垂直线) 题目可再简化为在 (b/2)^2 = ac 的条件下求 a+c 的上界 (与 a,b,c 有关) case1. a >= b > b/2 >= c 时 a + c = a + (b^2)/4a = a[1 + (b/2a)^2] < a(1 + (1/2)^2] = 5a/4 故 4b/9 + 4(a+c)/9 < 4a/9 + (4/9)(5a/4) = a = max{a,b,c} 成立 case2. b >= a >= b/2 >= c 时 a + c = a + (b^2)/4a 为一在 [b/2, b] 上的递增函数 (直接相减可得出), 最大值发生在 a = b 时, 即 b + (b^2)/4b = 5b/4 故 4b/9 + 4(a+c)/9 <= 4b/9 + (4/9)(5b/4) = b = max{a,b,c} 成立 同理， c >= b > b/2 >= a 与 b >= c >= b/2 >= a 时原命题也会成立. q.e.d --

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