※ 引述《yueayase (scrya)》之铭言： : 在Apostol 的 Advanced Calculus(或是某些初微课本)对以下的improper integral Apostol似乎没有一本书叫Advanced Calculus : 是这样说的: : ∞ a ∞ : ∫ f(x) dx exists if both integral ∫ f(x) dx and ∫ f(x) dx exist : -∞ -∞ a ∞ ∫ f(x) dx 的做法是 ∞ a ∞ 分成 ∫ f(x) dx ∫ f(x) dx -∞ a a c 然後写成 lim ∫ f(x) dx ＋ lim ∫ f(x) dx b→-∞ b c→∞ a 两个人分别跑向正负无限大 这两个人不可以讲好 用一样的速度 或是我用你两倍的速度 要各自独立跑就对了 如果这样的极限值存在 叫做 Improper Riemann-integrable : ∞ : 所以像 f(x) = x 是一个奇函数,但是 ∫ x dx 不是 0,叫做 Cauchy principal value : -∞ 如果是两个人用一样的速度跑 就变成 b lim ∫ f(x) dx b→∞ -b 这叫 Cauchy principal value 如果Improper Riemann-integrable, 那麽这两种极限值做出来会相等 反过来说, 有可能Cauchy principal value存在 如你给的例子是0 但瑕积分不存在 : 那麽 : ∞ a ∞ : ∫ f(x) dx exists if both integral ∫ f(x) dx and ∫ f(x) dx exist : -∞ -∞ a : 是定义吧,可是感觉这个定义很奇怪, 不是趋向∞吗,又不是等於, : ∞ t : 那为何∫ x dx 不是 0(像∫ x dx = 0) : -∞ -t : 这部份的观念不好,希望有人可以回答 : (如果这就是定义,我就认了) --

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