※ 引述《rfdgrfdg (指考哥)》之铭言： : 1.设x^3-2011x+m有整数根a,b,c 其中a>=b>=c 试求|a|+2|b|+|c|=? : 2.设R是所有2^n除以1000的余数所形成的集合，其中ｎ是非负整数，Ｓ是Ｒ中所有元素的和，试求Ｓ除以１０００的余数 WLOG 假设 2^m 与 2^n (m>n)余数相同 所以 2^m-2^n | 1000 想当於 2^n(2^(m-n)-1)|1000 = 8*125 显然2^n 一定整除8 故只需考虑2^((m-n)-1)|125 令m-n=k 2^k-1|125 由余数可知 k=4t (t属於N) 代入後 (2^2t+1)(2^2t-1)|125 <=> (4^t+1)(2^t+1)(2^t-1)|125 有5的因数时 ↑ ↑ ↑ t=odd t=4p+2 t=4q 显然不管t是什麽数，这三个因数只能有一个有5的因数 所以分三种情况讨论 (1) (4^t+1)|125 t=2a+1(a为非负整数}) 代入 <=> (4^(2a+1)+1) |125 <=> (4+1)(4^2a-4^(2a-1)+4^(2a-2)....+1) 後者需整除25 观察後可发现 2a=10b+4 (1{-4+16}+{-64+256}相当於1+2+2(mod5)) 令a=5b+2代入(b为非负整数) <=> (4^(10b+5)+1)|125 <=> (1024^(2b+1)+1)|125 <=> (24^(2b+1)+1) |125 <=> (24+1)(24^2b-24(2b-1)+24^(2b-2)....+1)|125 後者需整除5的最小b为2 → a=12→ t=25→ k=100 所以2^n(2^100-1)|1000 n>=3 所以每100个会重复 第一项是2^3跟2^103 即可计算 1+2+2^2+....+2^102 = 2^103-1 = 2^3-1 = 7 (2) (2^t+1)|125 t=4p+2 代入 <=> (4^(2p+1)+1)|125 <=> (4+1)(4^2p-4^(2p-1)+4^(2p-2)...+1) 可以发现跟(1)的情况一样 最後会得出t=200 而由上述讨论可知在t=100已经重复 (3) (2^t-1)|125 这个跟题目 第一步(2^m-2^n)|125 状况一样(陷入回圈) 但显然，继续讨论得到的t皆比100大 所以1+2+2^2+....+2^102 = 2^103-1 = 2^3-1 = 7 这题跟IMO考得一样(连IMO那题也是差100会有同余数)，不过这题转了个弯就是了~ -- Like a million stardust 忘れないから　共に过ごした一瞬さえ全部 君の未来を仆は祈るよ My precious one,but I keep going For dearest...graffias is on the one -- バルシェ <story teller > graffias --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 140.112.240.113 ※ 编辑: FAlin 来自: 140.112.240.113 (03/20 12:01)