※ 引述《BePi (逼屁)》之铭言： : 1. (m,n) = 1 ,证 1....1(m个) 与 1....1(n个) 也互质 令 d=(1...1, 1.....1) => 10和d互质 d|1...1 => d|9...9 => d| 10^m-1 => 10^m =1 (mod d) 同理 10^n =1 (mod d) 令K 是最小的正整数 使得 10^k=1 (mod d) => k|m , k|n => k=1 => 10=1 (mod d) => d=1 or 3 or 9 若 d=3 => m,n都是3的倍数 不合 若 d=9 => m,n都是9的倍数 不合 => d=1 : 2. √(a^2 + b^2) + √(b^2 + c^2) + √(c^2 + a^2) ≧ √2 * ( a + b + c ) : 这题他已经有用一个边长是a+b+c的正方形 配合对角线去证 : 要求其他解法 : 3.f(x)是从[0,1]对应到实数的函数，已知λ,x,y属於[0,1]， : f(x)满足 f(λx + (1-λ)y) ≧ λf(x) + (1-λ)f(y) : 证：当x,y,z,λ1,λ2,λ3属於[0,1]，λ1+λ2+λ3 = 1， : f(λ1x + λ2y +λ3z) ≧ λ1f(x) + λ2f(y) + λ3f(z) 恒成立 直接爆破拆开 f(λ1x + λ2y +λ3z) = f(λ1x + (1-λ1)((λ2y +λ3z)/(1-λ1))) ≧ λ1f(x) + (1-λ1) f((λ2y +λ3z)/(1-λ1))) = λ1f(x) + (λ2+λ3) f( (λ2/(λ2+λ3))y + (λ3/(λ2+λ3))z ) ≧ λ1f(x) + λ2f(y) + λ3f(z) 红的那两个加起来是1 --

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