作者yueayase (scrya)
看板Math
标题Re: [微积] 还是敛散性的问题
时间Thu Mar 17 22:00:46 2011
※ 引述《hbkhhhdx2006 (大T)》之铭言：
: Show that the series Σ(-1)^(n-1)Bn, where Bn=1/n for n is odd and Bn=1/(n^2)
: for n is even, is divergent. Why does the Alternating Series Test not apply ?
: 正常来说 Σ(-1)^(n-1)/n^p 在p>1时收敛p<=1时发散
: 所以我觉得应该都是收敛才对吧
: 但题目是说发散不知从何下手
: 解答说不能用 Alternating Series Test 是因为Bn不是递减函数
: 看到这我又更乱了
我觉得可以这样想:
Σ(-1)^(n-1)Bn = Σ(-1)^(2k+1-1)(1/(2k+1)) + Σ(-1)^(2k-1)(1/k^2)
= Σ(1/(2k+1)) (-1的偶数次) - Σ(1/k^2) (-1的奇数次)
Σ(1/2k) 发散(By comparison test,应该没记错)
Σ(1/k^2) 为 p>1的级数 => 收敛
所以整个发散
Bn不是递减函数:
n = 2k
Bn > B(n+1)?
2
1/4k^2 - 1/2k+1 = 2k+1-4k/4k^2(2k+1)
分子的判别式 < 0 => 恒负(对於k >= 0)
所以不是递减函数
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1F：→ hbkhhhdx2006:谢谢 讲得很清楚 03/17 22:29