作者Sfly (topos)
看板Math
标题Re: [证明] 几题证明、排组请教大家
时间Sun Mar 13 07:02:03 2011
※ 引述《kusoayan (玮哥)》之铭言：
: 7.
: 设f(x)为一有理系数的五次多项式，且对所有整数n>=5 f(n)均为整数
: 试证明存在整数m n p q r t
: x x x x x
: 使得f(x) = mC +nC +pC +qC + rC + t
: 5 4 3 2 1
这题不难
但条件 "对所有整数n>=5 f(n)均为整数" 让整件事复杂一点点.
先求多项式 g(x)=m'C(x-5,5)+n'C(x-5,4)+...+r'C(x-5,1)+t'
使 g(x)=f(x) for x=5,6,7,8,9,10
依序带入 x=5~10
可得 t',...,n',m' 皆为整数
比较次数, f(x)=g(x).
然而, C(x-5,k)=(-1)^kC(k+4-x,k) for x<5.
因此, 对於所有整数n, f(n) (=g(n)) 皆为整数
从而 f(x-5) 满足题目条件
套用上面的结果, f(x-5)=mC(x-5,5)+nC(x-5,4)+...+rC(x-5,1)+t
ie. f(x)=mC(x,5)+nC(x,4)+..+t
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※ 编辑: Sfly 来自: 131.215.6.212 (03/13 08:15)
1F：推 kusoayan :受教 谢谢!! 03/13 20:36