※ 引述《lilygarfield (没有~没有~又没有)》之铭言： : (√5 + 2√3)^20 的整数部分为何？ : 嗯~ : 其实数字是乱掰的... : 因为我知道有些特殊数字，是可以求出特别的答案？ : 习得技巧後~ : 觉得无言可说... : 不过~ 如果像是这种无理数的题目... : 想要知道整数部分是多少？ : 可是因为展开的二项式 C 会影响整数 : √5 虽然是 2.23 但次方多了後~ 也会影响整数位 : √3 也是... : 於是~ 想要正确知道整数，就变得难多了... 除非有很有趣或富教育意义的方法，不然我认为这个本来就不是叫人算的。 ** 原本算(√a + √b)^n 的特殊方法应该是在 |√a - √b|< 1 时才有用 令 A=√a + √b, B=√a - √b (其中a>b) 有AB= a-b (整数), A^2+B^2 = 2a^2+2b^2 (整数) 2n 2n 2n-2 2n-2 2 2 2 2 2n-4 2n-4 又有 A + B = (A + B ) (A + B ) - A B (A + B ) 也是个整数 当n够大，B^2n -> 0则 A^2n+B^2n就是最接近(√a + √b)^n的整数，即整数部分+1 即使如此还是要算n次才能得到答案。 ** 要取得特定精确度的解用数值方法反而还比较潇洒。以下引入计算机。 我们要取一个 A =√5 + 2√3 的近似，一般用两个长整数或超长整数表成比值m/n， 令这个m/n=α(有理数), A = α +ε (误差) n n n-1 A ～ α + n α ε + ... n+1 再这里要取到整数精确相当於误差项 0< n α ε < 1，即 - logε > log n + (n-1)logα 知道ε的magnitude之後就可以用直式开方或Babylonian method得到√5 + 2√3的一个 足够好的近似α，使得 A^n ～ α^n 可能有其他更有效率(但也更艰深)的数值方法就不在献曝的范围内了=^= --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 140.112.213.88 ※ 编辑: jurian0101 来自: 140.112.213.88 (03/10 23:45)