作者yhliu (老怪物)
看板Math
标题Re: [微积] 递回数列的极限
时间Sun Mar 6 09:41:57 2011
※ 引述《yaushu (yaushu)》之铭言：
: Let a_0 be a positive real number.
: ________
: a_n=√1+a_n-1 for every positive integer n
: 要证明数列{a_n} 收敛
: 在证明数列有上界时 用数学归纳法
: 但此题没给起始值 因此不知对所有的n a_n 一定会比谁小
: 可请板上的大大帮忙吗?
(1) a_0 > 0 ==> a_1 > 1 > 0 ==> a_n > 1, all n≧1.
在 a_n > 1 之下:
(2) a_{n+1} > a_n <==> 1+a_n > (a_n)^2
<==> a_n < (1+√5)/2
a_{n+1} < a_n <==> a_n > (1+√5)/2
又:
(3) a_n > (1+√5)/2 ==> a_{n+1} > (1+√5)/2
a_n < (1+√5)/2 ==> a_{n+1} < (1+√5)/2
因此:
当 0<a_0<(1+√5)/2 时,
a_n 是 increasing, 上界 (1+√5)/2 的数列;
当 a_0>(1+√5)/2 时,
a_n 是 decreasing, (1+√5) 为其一下界;
当 a_0=(1+√5)/2 时, a_n≡(1+√5)/2.
结果, 无论 a_0 是多少, 只要 a_0>0, 则 lim a_n 存在.
其极限 a 由 a=√(1+a) 且 a≧0 得 a=(1+√5)/2.
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