※ 引述《pentiumevo (pentiumevo)》之铭言： : 题目：设P(x)是n次实系数多项式，若P(x)的根都是实数，求证P'(x)的根也都是实数。 : 我知道代数基本定理是说复系数n次多项式有n个根。 : 不过我不知道实系数多项式根的个数与deg有无关系？ : 这一题要怎麽写出一个比较严谨的证明呢？ : 拜托大家帮忙了，谢谢。 先把 P 分解 n_1 n_k P(x)=C(x-x_1) ...(x-x_k) 其中 x_1 < ... < x_k 由 Rolle's Thm. 知道：P'(x)在(x_i,x_(i+1))都有实根 目前已经知道P'(x)有k-1个实根 n_i -1 另外，(x-x_i) 是P'(x)的因式，所以知道P'(x)的根有(n_i -1)个x_i （真的去把P微分就知道了） 目前已经知道P'(x)有 k-1 + (n_1 -1) + ... + (n_k -1) 个实根 也就是知道P'(x)有 -1 + n_1 + ... + n_k = n-1 个实根 但是根据代数基本定理，P'(x)总共有 n-1 个复数根 所以P'(x)的根全部是实根 --

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