※ 引述《skywidth (skywidth)》之铭言： : 想请问一个证明 : 假设一袋子中有 1-5号卡片 : 抽两次 取後不放回 那号码和的期望值是? : 其中 : 我可以直接算抽一个的期望值在乘以2 : 1+2+3+4+5/5 *2=6 : 但我始终找不到证明 所以无法理解其原因 : 我比较能理解取後放回 但取後不放回实在无法理解 不知各位有没有证明? 如果要直接算号码的期望值 首先 5 任取两数的方法数 = C = 10种 2 (因为取後不放回,所以必取到不同数) 取到的两数可能为 (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5) (1+2)+(1+3)+(1+4)+(1+5)+(2+3)+(2+4)+(2+5)+(3+4)+(3+5)+(4+5) =>号码和期望值= ------------------------------------------------------------- 10 = 60/10 = 6 (跟取一个的期望值x2刚好一样) 如果要更详细的证明如下: 假设有n个号码(1,2,3,...,n) n Σ k k=1 n(n+1)/2 则取一个的期望值再乘以2 = -------- x 2 = ------------x2 = n+1 n n C 1 n-1 n n-1 n Σ Σ (i+j) Σ (n-i)*i + Σ j i=1 j=i+1 i=1 j=i+1 取两个数直接算期望值 = ---------------- = ----------------------- n n(n-1)/2 C 2 n-1 Σ ni-i^2+ (n+i+1)(n-i)/2 i=1 = ---------------------------- n(n-1)/2 n-1 Σ -3*i^2 + (2n-1)i+(n^2+n) i=1 = ----------------------------- n(n-1) (-3)(n-1)(n)(2n-1)/6 + (2n-1)(n-1)(n)/2 + (n-1)(n^2+n) = -------------------------------------------------------- n(n-1) = -(2n-1)/2 + (2n-1)/2 + (n+1) = n+1 所以用这两种方法算出来的答案都"恰好"会等於 n+1 得证!? 差不多吧XD --

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