作者deepwoody (快回火星吧)
看板Math
标题Re: [微方] 一题积分求解
时间Sun Jan 9 19:24:10 2011
※ 引述《konlan (konlan)》之铭言：
: ∞
: ∫ exp(-x^2)˙x^6 dx
: 0
: 该如何求解呢？
: ps.我只会 ∞ 这个积分
: ∫ exp(-x^2) dx
: 0
: 我猜想大概和Γ function有关 可是又不知道如何下手
: 或者和power series或laplace transform有关?
: ※ 编辑: konlan 来自: 61.224.52.213 (01/09 19:06)
┌────────────┐
│ ∞ -t (z-1) │
│Γ(z) = ∫ e t dt │
│ 0 │
└────────────┘
(-1/2)
对原式做变数变换，令 x^2 = t => 2xdx = dt => dx = (1/2)(t) dt
∞ (-t) 3 (-1/2) ∞ (-t) (5/2)
=> 原式 = ∫ e ×t ×(1/2)(t) dt = (1/2)∫ e t dt
0 0
= (1/2)Γ(7/2)
利用Γ function的性质：
(1) Γ(1/2) = √(π) (2) Γ(λ+1) = λΓ(λ)
=> 原式 = (1/2)(5/2)(3/2)(1/2)Γ(1/2) = (15/16)√(π)
#
--
╔《新版十二生肖》═════════════════════════════╗
║
◣◣ ˍ ║
●●╰
‧‧╯
◣ ◢ [ ] ιι . .◣
- - ◣ ˍ▁
◢﹎◣▁▂ ║
◢'' .. '〒' '. ' ' ' ξ ▌
. . ≡◢'◎@@ ●﹏●★' ◣
ˊ▄ˋ ★︰ ║
‵′/ ██╯
█/ ▲
╭≡╮ ▃ ￣█ㄟ @@@@ ◣◢ ◥█◤
ˋ▄ˊ ‥ ║
╚═══" " ════════════
"═
"══"═"══
╯══════
liszt1025╝
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.211.87
1F：推 indi16 :强者 01/09 19:39
2F：推 konlan :谢谢原po 我有用最基本的intergration by part得到相 01/09 19:50
3F：→ konlan :同的结果 01/09 19:50
4F：→ konlan :不过好像太慢了些 01/09 19:51
5F：推 newversion :其实intergration by part就是在做Γ(λ+1)=λΓ(λ) 01/09 19:54