作者znmkhxrw (QQ)
看板Math
标题[微积] 收敛性与极限值
时间Thu Jan 6 21:13:16 2011
大一上初微时 老师给我们以下定义：
Definition：a_n is convergent to S
if for all ε>0, there exists Nε>0,
s.t. when n >= Nε, we have │a_n - S│< ε
Moreover, we write "a_n is convergent to S" into lim a_n = S
n→∞
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问题：
如果一道题目要我们证a_n是否收敛，我们可以取lim值吗？
意思是 像是请证明1/n 是收敛的
我们可以说 因为 lim 1/n = 0 , 极限值存在 所以他收敛
n→∞
这我感觉怪怪的 感觉逻辑有误
(一) 怎麽知道极限值是0？(如果前提是有极限值，那当然收敛(by defition))
(二) 要先证明收敛才能取lim 这句话有问题吗？
感觉这好像是if and only if 的定义阿= =
有lim值就能说他收敛了(定义)
可是你怎麽知道你的limit值是对的(回到(一))
可是像是 a_n = (-1)^n
我们可以写成 a_n=(-1)a_(n-1)
假设你同取lim
变成 S=-S → S=0
解出极限值等於0..可是a_n根本不收敛
这就是一个 "要先证明收敛才能取lim" 的范例了
可是这边又有一个问题，我确实解出了limit值=0，你怎麽知道这是错的
你可能会说因为│a_n│= 1 for all n
可是以逻辑的观点 记然是iff
我们有"如果收敛则limit值存在" 且"如果limit值存在则收敛"
那为什麽它存在limit=0(解出来的) 却不收敛
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希望有神人能看得懂我的问题= = 表达不是很清楚@@"
因为感觉
limit存在 iff
收敛 iff
if for all ε>0, there exists Nε>0,
s.t. when n >= Nε, we have │a_n - S│< ε
这三者是一样强的
为啥会有"要先证明收敛才能取lim"这句话(这句话感觉lim条件比收敛严苛)
谢谢~
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◆ From: 111.243.146.113
1F：→ mzhrqoc01 :limit指的不就是S吗，所以找得到limit就是收敛 01/06 21:29
2F：→ mzhrqoc01 :但是在不确定有没有这样的S的时候，要给出S，要先说 01/06 21:30
3F：→ mzhrqoc01 :明S存在，即证明收敛 01/06 21:31
4F：→ mzhrqoc01 :我又想了一下，觉得limit条件好像比收敛严苛 01/06 21:45
5F：→ mzhrqoc01 :因为取limit要求你确定收敛，而且知道S 01/06 21:46
6F：→ mzhrqoc01 :但收敛不一定需要知道S 01/06 21:47
7F：→ mzhrqoc01 :好像又没有说清楚，我是说写出 lim An = m 要求 01/06 21:54
8F：→ mzhrqoc01 :An收敛到某个数S，且S等於m，但是An收敛不需要你知道 01/06 21:55
9F：→ mzhrqoc01 :那个某数S是多少 01/06 21:56
10F：→ znmkhxrw :"a_n收敛"跟"a_n收敛到S"不是一样的吗 收敛必有值阿 01/06 21:58
11F：→ josh28 :有时候那个S很难算阿XD 01/06 22:29
12F：推 jacky7987 :应该说 lim(n->inf) 1/n=0 是因为你可用定义证明出来 01/06 22:32
13F：→ znmkhxrw :所以要扯到不用知道S的Chauchy Criterion？ 01/06 22:32
14F：→ jacky7987 :|1/n-0|<ε 然後我们把它记成lim(n->inf)1/n=0 01/06 22:33
15F：→ mzhrqoc01 :我试着举一个例子有一个数列a_n, a_1=1,a_n>=2*a_n-1 01/07 00:01
16F：→ mzhrqoc01 :级数Σ（1/a_n）递增，且有上界=2，这些条件就可以说 01/07 00:04
17F：→ mzhrqoc01 :明这个级数Bn收敛，但Bn是多少却不能决定吧 01/07 00:06
18F：→ mzhrqoc01 :这是我刚刚想出来的，不知道好不好 01/07 00:06