作者vincentflame (vincent)
看板Math
标题[分析]有关conformal mapping的证明
时间Wed Jan 5 04:21:41 2011
不好意思,小弟有一个问题想请教各路复变高手:
Prove that if f:D→D is analytic and has two distinct fixed points, then f
is the identity.(i.e. f(z)=z for all z belonging to D)
(本题出自Stein & Shakarchi的Complex Analysis第250页第12题的(a)小题)
小弟是想令α,β为f的fixed point,然後令
F(z)=(φ_f(α))^(-1)。f。(φ_α)
α-z
其中φ_α(z)= ─────── ,α belongs to C
1-(α_bar)z
(α_bar是α的共轭复数)
验出F(0)=0後,用了Schwarz lemma得到|F(z)|=|z|,从而得知F(z)=e^(iθ)z
但是在这一步就卡了,恳请各路高手提供小弟一些提示,感激不尽!!
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◆ From: 140.116.118.4
1F：推 yusd24 :不是有两个固定点..?? 01/05 07:55
2F：→ vincentflame:是,f是有两个固定点没错 01/05 08:36
3F：推 jacky7987 :那就把固定点带进去阿，α=e^(iθ)α => e^(iθ)=1 01/05 08:40
4F：→ jacky7987 :F(z)=z 01/05 08:41
5F：→ vincentflame:解出来了,多谢各路高手!! 01/06 00:31
6F：→ vincentflame:只是要另外取γ=(α-β)/(1-(αbar)β) 01/06 00:32
7F：→ vincentflame:这才会是F的另一固定点,也就说明了F(z)=z 01/06 00:33
8F：→ vincentflame:最後再由此推得f(z)=z 01/06 00:34