作者GameKnight (约定好的休息)
看板Math
标题Re: [中学] 请问一题数学归纳法
时间Thu Dec 30 12:23:21 2010
※ 引述《yusd24 (阿乡)》之铭言：
: ※ 引述《eqcolouring (123)》之铭言：
: : 证明:n^5+5n^4+5n^3-5n^2-6n必为120的倍数
: : 当n=1时,0=120*0成立
: : 假设当n=k时成立
: : 则n=k+1...这边我就遇到困难了
: : 真的要把式子全部打开然後再整理吗?
: : 是否有较佳的方法来证明这个叙述?(不用数学归纳法的方法也可)
: : 谢谢!
: 原式 = (n-1)(n)(n+1)(n+2)(n+3) = A
: 五个连续整数一定有 5 的倍数，里面一定也有 3 的倍数
: 这五个里面至少有两个是偶数，一个是 4 的倍数
: 所以 A 是 8 的倍数
: 故 A 是 3, 5, 8 的倍数，又两两互质，所以 A 是 3x5x8=120 的倍数
若要用数学归纳法
应该这样写
1. 当n=1时,0=120*0成立
2. 假设当n=k(k任意正整数)时原题成立,
即k^5+5k^4+5k^3-5k^2-6k = 120t (t为任意整数)
可推得n = k+1时
(k+1)^5 + 5(k+1)^4 + 5(k+1)^3
- 5(k+1)^2 - 6(k+1)
= (
k^5+5k^4+10k^3+10k^2+5k+1) + 5(
k^4+4k^3+6k^2+4k+1) + 5(
k^3+3k^2+3k+1)
- 5(
k^2+2k+1) - 6(
k+1)
=
k^5+5k^4+5k^3-5k^2-6k
+[ (5k^4+10k^3+10k^2+5k+1) +5(4k^3+6k^2+4k+1)+5(3k^2+3k+1)-5(2k+1)-6 ]
=
120t + (5k^4+30k^3+55k^2+30k)
=
120t + 5k(k^3+6k^2+11k+6)
=
120t + 5k(k+1)(k+2)(k+3) <--显然连续四数相乘为24的倍数
= 120t +120s (s为任意整数)
= 120(t+s) 亦为 120的倍数
所以由数学归纳法得证对任意正整数 n, k^5+5k^4+5k^3-5k^2-6k必为120的倍数 #
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 203.64.161.123
※ 编辑: GameKnight 来自: 203.64.161.123 (12/30 12:25)
1F：推 ejialan :这里你把连续4数相乘为24的倍数视为已知 如果'只'能 12/30 13:12
2F：→ ejialan :用数学归纳法 这题做完应该非常快乐 12/30 13:12
3F：→ GameKnight :数归法的重点在於 必须使用n=k时的条件 即为数归法 12/30 13:31
4F：推 mickeyjan :e大的意思应该是，怎麽知道"连续4数相乘为24的倍数" 12/30 17:20
5F：→ mickeyjan :这件事情是显然呢? 如果要证明它且还要用数学归纳法 12/30 17:21
6F：→ mickeyjan :那还得要再写一段，所以才说做完应该非常快乐XDDD 12/30 17:21
7F：推 ejialan :恩 我的意思就是楼上那样 後面还有连续3数和连续2数 12/30 21:19
8F：→ ejialan :觉得只用数学归纳法证很有趣 12/30 21:21
9F：推 eqcolouring :谢谢您的回答!这一题用数学归纳法可能会辛苦了点^^" 12/30 23:59
10F：→ GameKnight :连续四数恰有两偶数且其中有一个是4的倍数 12/31 01:25
11F：→ GameKnight :连续三数至少有一个3的倍数 12/31 01:25