※ 引述《citronrisky (呆)》之铭言： : 圆周率PI是个无理数， : 根号2也是个无理数， : 这些无理数无法写成有限位小数的形式， : 但是可以用有限的文字来描述，如： : PI: 圆的周长与直径的比值 : e: d(e^x)/dx = e^x : sqrt(2): x^2 = 2 之正数解 : 请问， : 每一个无理数都可以用有限文字来描述吗? 其实是个还蛮有趣的问题! 这关系到 "描述的文字" 本身的特性; 如果我们把 "描述" 想成是一个函数从 "描述的文字集" 到 "被描述的文字集", (在这里被描述的就是实数) 那麽一个 bijection 应该就是表示每个文字都能被独特的描述. 为了让一个 "描述" 有意义, 我们应该限制描述的文字集每个元素长度必须是有限的, 不然无穷小数展开就是一种描述. 在这个意义下, 如果所谓的 "字母" 不够时, 实数是无法被描述的. 想像如果是用电脑的语言, 也就是描述文字集为 {0,1}* (这个记号表示所有由 0 与 1 形成的字串) 那麽我们可以知道是不可能描述实数的, 因为整个 {0,1}* 只有可数无限. 同理可推有限的字母集都不行. 即使我们的描述语言能容许使用自然数, 也就是 N*, 还是没有办法的, 理由相同. 但只要描述的语言本身字母也是不可数的, 如 R^*, 那就可以描述了, 但这样的 "描述" 对我们来说不是很有意义, 原因是这个 "描述别人的文字集" 还是没有办法 "被描述", 顶多只能将一些在某个文字集下可能要用很长的字串描述的数字, 换成在另一个文字集下较短的字串罢了. 总而言之, 假如我们使用人类的语言 (如中文), 因为字母集是有限的, 我们即使用千奇百怪的方式定义了很多无理数, 仍然有不可数无穷个无里数仍然是没有办法被描述的. -- Chicken's Finite Playground http://finiteplayground.wordpress.com/ Algorithms, Computational Complexity, Graph Theory, and Anything... FINITE!! --

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