作者t0444564 (艾利欧)
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标题Re: [中学] 一题题目求解
时间Mon Dec 27 01:13:53 2010
※ 引述《j19951102 (j19951102)》之铭言：
: 设p与q为质数，且满足p^3 + q^3 +1= p^2*q^2，请问p + q的最大值为多少?
显然,p和q皆为偶数的解即为p=q=2不合.
且不失一般性,我们假设p<=q.
考虑p=2且q=3,这是一个合的解.
若p=2 , 显然 q>3是无解的 (原因是q^3的成长比q^2大)
所以一奇一偶仅有一解,即为(p,q) = (2,3)
现在考虑两者皆为奇数.
如果p=q,那麽方程式会有p=1和一个非整数的有理根(或三个),
简而言之,就是没有符合的质数.
所以p<q.
若p = 3 , q = 5 ,那麽 27 +125 +1 < 15^2 = 225 不合
若p = 3 , q = 7 ,那麽 27 +343 +1 < 21^2 = 441 不合
若p = 3 , q = 11 ,那麽 27 +1331 +1 > 33^2 = 1089 不合,而且之後也不可能合.
(因为三次的速度大於二次,所以不会再相交了)
所以我们发现应该要证明:
若p为质数且为奇数,则该方程没有质数的解即可.
那我们就把q=2n+1代回去,用牛顿定理就发现n不可能有整数解.(因为p为质数.)
如此得证
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◆ From: 140.112.251.220
1F：推 j19951102 :能说明一下把q=2n+1代回去,用牛顿定理就发现n不可能 12/27 22:06
2F：→ j19951102 :有整数解.(因为p为质数.)这边的算法吗? 12/27 22:06
代回後可得
(2n+1)^3 + q^3 = (2n+1)^2 * q^2
8n^3 + 12n^2 + 6n +1 +q^3 = 4(nq)^2 + 4nq^2 + q^2.
8n^3 + (12-4q^2)n^2 + (6-4q^2)n + [q^2 * (q-1)] =0
但n不等於1 , q ,q^2 ,q-1. 也不可能等於(q-1)/2.
(若再考虑(q-1)除以其他整数则代回不合,故不可能有其他整数解)
※ 编辑: t0444564 来自: 140.112.251.220 (12/28 00:57)