作者perturb (背後有老板)
看板Math
标题Re: [线代] 如何证明特徵值不同对应之x必为独立?
时间Sat Dec 25 12:40:22 2010
我忘了课本证明是怎样了
不过大概可以这麽证明：
下面用L1,L2,...,Ln表示特征值
下面证明
(#)如果Sk={X1, ..., Xk} 线性独立的话， 则X_{k+1}和Sk也线性独立 0<k<n
如若不然， 即X_{k+1}与Sk不独立， 则X_{k+1}可以唯一表示成
X_{k+1}=a1X1+...+akXk <*>
从而X_{k+1}=AX_{k+1}/L_{k+1}=a1*L1/L_{k+1} X1+...+akLk/L_{k+1} Xk
然而必然存在某个ai不为零，ai != ai*Li/L_{k+1}
与<*>矛盾， 因此假设不成立， 从而 (#)成立
因为X1 != 0 即S1 线性独立， 从而可以推知S2, S3, ..., Sn也线性独立
※ 引述《ofd168 (大色狼来袭)》之铭言：
: 如题
: 如何证明
: 当我算出特徵值/固有值(eigenvalue)-k1~kn，若eigenvalue都不同(没有重根)
: 那我eigenvalue所对应之x1~xn(eigenvector)必为线性独立(linear independent)
: 有的书翻固有值，有的翻特徵值
: 英文是eigenvalue
: 简单多AX=kX
: 其中Ａ是n*n矩阵
: k是纯量
: 感谢大大了，附上中英文对照，课本上的证明实在看不懂
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