※ 引述《kuogary1 (桂冠)》之铭言： (恕删) : 3. 即使A、B都不是零矩阵，其乘积却可能是零矩阵...??? : 除了举例有办法直接推吗？ : 4. 有没有可能AB=I但是BA却不等於I呢？AB均是方阵 (恕删) 以下内容可能超出原PO标题「中学」, 不过还是PO出来给大家参考。 矩阵──尤其是方阵(行数=列数的矩阵)──的许多性质,用线性变换的角度来看 会清楚许多, 诚如euphrate版友所说, 一个方阵, 比如说3x3的方阵A, ╭ a b c ╮ A = │ d e f │ ╰ g h i ╯ 3 可以想成是三维空间 |R = {(x,y,z)} 上的变换, A (x,y,z) ───────→ (ax+by+cz, dx+ey+fz,gx+hy+iz) 换言之, A本身可以想成是一个从|R^3作用到到|R^3的「函数」, 而I这个方阵对应到 的函数就是单位函数: I: (x,y,z) → (x,y,z) 什麽事都没有作, 把(x,y,z)送回 (x,y,z)的函数, 因此原PO的问题就变成, 是否两个函数f,g的合成f。g是单位函数, 就保证g。f也是单位函数, 或者说, 就保证g是f的反函数. 这件事对一般的函数当然不对, 比如说: ┌ (log|x|, y, z) if x!=0 x f(x, y, z) = ┤ ; g(x,y,z) = ( e , y, z ) └ (0, y, z) if x =0 f(g(x,y,z)) = f。g(x,y,z) = (x,y,z) 但是 f(g(x,y,z)) = g。f(x,y,z) = (|x|,y,z) 如果用图来看, ┌───────┐ ┌───────┐ ∣ │ g │ │ ∣ (u,v,w) ───────→ (x,y,z) │ ∣ ←─────── │ ∣ ＿ │ f │ │ ∣ ▉╲ │ │ │ ∣ ╲ │ │ ∣ ╲ │ x > 0│ ∣ │ ╲ ├───────┤ ∣ │ ╲ │ x < 0│ ∣ │ ╲ │ │ ∣ │ f ╲ │ ∣ │ ╲ │ ∣ │ │ (-x,y,z) │ │ │ │ │ │ │ │ │ └───────┘ └───────┘ f限制在g的像(image)上是一对一且映成(映满|R^3), 但放到整个|R^3来看, f便不是一对一了, 不难看出, 「f。g =id 且 g为映成函数」便保证g是f的反函数. 那麽什麽样的状况可以在 f。g =id 的条件下就保证g是映成函数? 首先: 我们知道 g一定是一对一函数, 否则f。g不可能一对一. 如果D是一个有限集, 其中 g: D → D, 那麽我们知道g一定同时是映成函数, 但一般来说, 若D非有限集, 这件事就不一定对, 比如说: g: |N ─→ |N f: |N ─→ N| n ├─→ n+1 n+1├─→ n 1├─→1 回到方阵来看, |R^3并非有限集, 但另一个量──维度──却是有限. 如果把B看成|R^3上 的函数, 那麽B不同於一般的函数, 它还会保存|R^3本身的线性结构: B会把任何一个|R^3的子空间映成一个子空间, 而任何一个子空间的preimage也会是子空间. 子空间指的是任何一个通过原点的线(一维)或面(二维)或|R^3本身(三维)或原点(零维; 严格来说是原点所成的集合), 这是因为B有以下的性质 B(x+x',y+y',z+z') = B(x,y,z) + B(x',y',z') B(tx,ty,tz) = t B(z,y,z) 这两个性质合称线性, 满足此条件的变换(映射, 函数)称为线性变换. 而不难想像, 维 度不会无中生有, 所以经过应射後维度不会增加, 一条通过原点的线不可能映过去变成 面或者是|R^3, 但映过去以後维度可能会降低, 比如说 ╭ 1 4 7 ╮ B = │ 2 5 8 │ ╰ 3 6 9 ╯ B(x,y,z) = (x+4y+7z, 2x+5y+8z, 3x+8y+9z) = (x,2x,3x)+(7z,8z,9z)+(4y,5y,6y) = x(1,2,3)+z(7,8,9)+y/2(1+7,2+8,3+9) = (x+y/2)(1,2,3)+(z+y/2)(7,8,9) 所以A的像会是(1,2,3)和(7,8,9)这两个向量张出来的平面, 注意到 B(1,-2,1) = (0,0,0) 因此通过原点, 以(1,-2,1)为方向的线, 在A的映射下变成原点一个点, 这也就是说, B这个映射损失了一个维度, 导致它的像只剩二维, 这也就是维度定理: rank A + kernaliy A = dim V 的意涵. 如果接受这点的话, 那麽当A是一对一时, A的像也必须是三维, 因此A映成. 同样地, 这件事推广到无限维就不成立, 比如说 |N |N |N |N g: |R ─→ |R f: |R ─→ |R (a1,a2,...) ├─→ (0,a1,a2,...) (a1,a2,a3,...)├─→ (a2,a3,...) --

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