作者yclinpa (薇楷的爸)
看板Math
标题Re: [微积] 是否有f满足f_xy(a,b)=f_yx(a,b)但是f꘠…
时间Sat May 1 05:13:01 2010
※ 引述《k6416337 (とある煞气の光希)》之铭言：
: 这是之前我同学问我的问题
: 微积分里有一个定理是说一个双变数实值函数f(x,y)在一个集合D上有定义，(a,b)属於D
: 且f_xy,f_yx在(a,b)上是连续，则我们就可以交换顺序，也就是f_xy(a,b)=f_yx(a,b)。
: 这个定理中，前提并没有要求到f在那一点连续，所以我们就想说是否有例子，不过找半
: 天都找不到，所以想来这边问是否有这样的例子?感谢
从 Rudin: Principles of Mathematical Analysis 第九章的证明出发：
设 (a,b) = (0,0). 不失一般性，考虑 f, f_x, f_y 在 (0,0) 处为 0.
(将 f 以 f - f(0,0) - f_x(0,0) * x - f_y(0,0) * y 代替即可)
令 D(x,y) = f(x,y) - f(x,0) - f(0,y) + f(0,0)
= f(x,y) - [f(x,0)-f(0,0)] - [f(0,y)-f(0,0)] - f(0,0).
及 g(x) = f(x,y) - f(x,0)
则 D(x,y) = g(x) - g(0)
= x * g'(t)
= x * [ f_x(t,y) - f_x(t,0) ]
= x * y * f_xy(t,s).
因为 f_xy 在 (0,0) 连续，所以在附近有界，故 |D(x,y)| <= M * |xy|.
又 |f(x,0) - f(0,0)| <= M * |x|, |f(0,y) - f(0,0)| <= M *|y|,
(偏导数 f_x, f_y 在 (0,0) 存在即可.)
所以 |f(x,y) - f(0,0)| <= M * (|xy| + |x| + |y|)，故 f 在 (0,0) 连续,
Q.E.D.
--
废话这麽多，还不就是为了捞 P 币 :q
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 123.204.105.177
1F：推 math1209 :太强了… 05/01 06:21
2F：推 calvin4 :是老师啊！ 05/01 06:29
3F：→ calvin4 :最近正好讲到这附近。 05/01 06:30
4F：推 Dexterity :惊 老师出现了 05/01 08:54
5F：→ recipro :老师好~ 05/01 09:12
6F：推 k6416337 :好强! 原PO是老师? 05/01 17:17
7F：→ yclinpa :小朋友又多一题习题了 XD 05/01 21:22
8F：推 Math :朝圣一下 05/03 16:27