※ 引述《Lindemann (nam myo horen ge kyo)》之铭言： : 昨天念着念着就不小心看到这个定理了>_< : 就看这本书有提到 微积分纵横谈 沈燮昌 邵品琮 : 我是还停留在高微的level啦,就记得很久很久前实变念到好像有一个叫做Fatou定理? : 接下来我就.... 实变挂了>< : 有人可以说一下p258-p.259 Weierstrass第一第二这个定理证明的证明的精神 : 我不太能掌握这本书的证明 : 还有Weierstrass逼近这个定理实用吗??? : 用一个任意多项式去逼近一个函数,奇怪为什麽这多项式是无穷级数? : 还有有Fourier级数又称之"三角"多项式? 微积分纵横谈-沈燮昌,邵品琮. 的确是一本好的科普书籍。至於你提到的 Fatou's lemma 应该与你要谈论的逼近定理无关。我们有许许多多不同类型的逼近定理，而 以 Weierstrass 逼近定理较为出名。而你问到第一与第二定理，关於这一点请翻 阅 Mathematical Analysis-T.M.Apostol, 第十一章部分: 里头提及了该怎麽使用 第二定理证明第一定理 (事实上这两个定理不难看出是等价的…). 当我们谈论到 Weierstrass 逼近定理时，往往指的是第一定理。这个第一与第二 的名称就无须太在意了。较需要知道的还有 Stone-Weierstrass 定理 (1937,48). 昨天在你写的文章之下，我们谈及了一些数学史，我提到了在某种意义上来看: Stone-Weierstrass 定理 (1937) 会与 Fourier 的看法 (1807) 等价。 这是基於我们得找到一个适当的 Algebra. (请参考 Rudin 的高微名着) 而此适当 的 Algebra 的其中特例就是正余弦函数的线性组合。不过由於当时 Weierstrass 逼近定理的证明是来自 Weierstrass 对於 Heat Kernel 的研究，因此是否能跳脱 heat, 而在 19 世纪末去得到此 Weierstrass 逼近定理就很难说了(我的意思是指 要隔多少年才会被发现？) 此段我还有很多话想说，只是我文章改来改去，觉得这 话要说的完整就得建立在一堆不确定的假设之下，而且意义也不大，就不多说了… 当然，以现在的眼光来看 Weierstrass 逼近定理的方法有很多种，例： (1) Principles of Mathematical Analysis—Walter Rudin, pp. 159-160. (2) Mathematical Analysis—T.M. Apostol, p. 322. (3) The Elements of Real Analysis—Robert G. Bartle, pp. 171-172. (4) Introduction to Approximation Theory—E.W. Cheney, pp. 67-68. (5) Partial Differential Equations—Fritz-John, pp. 209-213. (Exercise 1). 等方法。 最後你提到那两段文字：为什麽这多项式是无穷级数? 与 Fourier 级数又称之"三角" 多项式? 第一个问题: 我不确定你是哪里看来的。第二问题通常会称为三角级数。而 会称为三角，这应该是说明 Fourier 当初考虑的仅仅是正余弦函数的 (无穷)线性组 合。 NOTE. (0) 上头提到了 1937, 48. 这是指在 1937 时先给了证明，而在 1948 年 Stone 自 己又给了一个简化的证明。 (1) 这由 Landau 引进，蛮接近 (5), 也涉及了 convolution 与 Dirac sequence. (2) Fejer 定理的应用 (於 Fourier Series). (3) 这是来自 Bernstein (1912) Polynomials. (4) 这来自算子理论。(与 (3) 有些关系…) (5) 这来自 Heat kernel. (Weierstrass) 此外，我写过一篇关於这方面的数学资料文件。需要的话，私底下写封信给我。里面 有一些数学应用。 -- Good taste, bad taste are fine, but you can't have no taste. -- ※ 编辑: math1209 来自: 220.133.4.14 (01/19 13:56)