※ 引述《betray911015 (回头太难)》之铭言： : Suppose that f: R→R is continous and f(x) = 0 : if x is rational. Show that f(x) = 0 , x=R : 我的想法: 这个函数应该是 0，所以是要证明 : 这个函数 0 在任何数都会连续。这样吗? : 因为 lim f(x) = 0 : x→∞ : lim f(x) = 0 : x→-∞ : 故得证 f(x) = 0 : 这样的证明行吗? Proof. 已知: f(x) 在有理数点 q 的值，f(q) ＝ 0. 欲证 f(x) ＝ 0 for all x in |R, 现在只 需证明 f(r) ＝ 0, 其中 r 为无理数。给予一无理数 r, 则必存在一组有理数数列 {q_n} 使得 q_n → r. 藉由已知，我们得到 0 ＝ lim f(q_n) n→∞ ＝ f(lim q_n) by continuity of f at r, n→∞ ＝ f(r). 因为 r 是任意选取的无理数，故我们证明了 f(r) ＝ 0, 其中 r 为无理数。 NOTE. (1) 我们把题目改成下列陈述也是对的… (Proposition) 命 f(x):|R →|R 为连续函数，且对於所有的无理数 r, 我们有 f(r)＝0. 证明 f(x) ＝ 0 for all x. [易知 domain 是否为 |R, 无关紧要…] Ref. Apostol, T. M., Mathematical Analysis, 2nd ed. Addison-Wesley, 1975. Exer- cise 4.13, Chap. 4, p. 97. (Proof. http://frankmath.cc/plover/Apostol.pdf pp. 100-101.) (2) [这篇的重点…] 命 C[a,b] 为连续函数定义於 [a,b] 之集合，则 #(C[a,b]) ＝ #(|R) ＝ c. 藉由本题 可知此结果。此外，利用本题的结论与下列的事实： (C[a,b], ∥．∥_∞) 为 Banach space, 故其维度 ≧ c. 可知其维度也正好是 c. [此处说明了一件事：存在一向量空间其维度跟个数一样多]. Ref. Avner Friedman, Foundations of Modern Analysis. Dover Publications, Inc. New YorK, 1982. Exercise. 4.8.7, Chap. 4, p. 154. -- Good taste, bad taste are fine, but you can't have no taste. -- ※ 编辑: math1209 来自: 220.133.4.14 (01/13 03:42)