原文43 我觉得你不能用(反微分)积分这种东西来说，不然解释半天你也不会相信 原 PO 就先假装不知道这个对数 ln 指数 e 往下看吧 :) f(x+h) - f(x) 导函数的定义是 f'(x) = lim ────── h→0 h 既然 三角函数 多项式函数 我都可以带这个定义来求导函数 那对数呢?? x f(x) = log f'(x) = ??? a 当然罗带入定义吧~ (x + h) x log - log a a f'(x) = lim ─────────── h→0 h 因为对数律 相减 变成 相除 x + h (────) log x a f'(x) = lim ─────────── h→0 h 因为对数律 外面相乘 变成 次方 1 ── h h (1 + ──) = lim log x h→0 a h 1 x 感觉有点怪怪的 里面有 ── ， 外面只有 ── 。 那我让他乘 ── x h x 1 ── h h x (1 + ──) = lim ── log x h→0 x a ↑ 反正乘 1 结果不会变 。 所以乘个 x 就要除个 x 利用对数律，把分子的 x 移进去次方里面 x ── h h 1 (1 + ──) = lim ── log x h→0 x a 这时候产生了一个非常神奇的东西 e 1/h 请问 lim (1 + h) = ??? h→0 有人说， 1 加上微量，然後在乘上无穷次方还是 1 有人说， 不对! 1 加上微量的无穷次方，然後算出来会变成 2 有人又说，错错错! 1 + 微小扰动的无穷次方，会造成无限大 啾~~~~~~静!谁才是对的呢? 这时候 Euler 就跑出来叫啦~ 他说，这个简单，利用二项式展开 m m m n m m m 2 m 3 m n (1 + x) = Σ C x = C + C x + C x + C x + ... + C x + ... n=0 n 0 1 2 3 n C 就是算组合数 m m! C = ───── ( ! 表示 阶乘 ) n (m-n!)(n!) 所以依照二项式定理 1/h (1/h)! (1/h)! (1/h)! 2 (1 + h) = ──── + ───── (h) + ───── h + ... 0!(1/h)! 1!(1/h-1)! 2!(1/h-2)! 1 1 1 = ── + ── + ── + ... 0! 1! 2! 1 1 1 1 1 1 = ── + ── + ── + ── + ── + ── +... 0! 1! 2! 3! 4! 5! = 2.718281828... 然而这个数字我们就简略以 e 来代替 ---回到这个式子 x ── h h 1 (1 + ──) = lim ── log x h→0 x a 我可以知道上面那串可以写成 e 这个常数 e log a 1 x = ─── = ──── (其中 log 写成自然对数 ln ) x x lna e 这下好啦 ! 我知道对数微分了 那我好像知道一件事情了! n 1 n + 1 平常的多项式积分 ∫ x dx = ── x + C n + 1 但是遇到 n = -1 就不能运算了! 1 还好今天我看到对数的微分等於 ──── (其中 ln a 又是常数) x lna 那我要如何把 ln a 改成 1 呢 ??? 很简单! 只要把"真数"与"底数"写成一样的时候就会等於 1 了。 那我 ln a 的底数，就是 2.718281828.... = e 1 那我也把真数 a 令为 e 就会得到 ── 了 x x 1 那我既然 D log = ──── a x lna a = e 的时候?? x 1 D log = ──── ?? e x 1 d( ln x) = ─── dx x 原PO的问题就迎刃而解啦!!! -- --

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