※ 引述《purestone (天空之子)》之铭言： : 在这里问一个很外行的问题,在作分部积分时,要怎麽知道对谁作积分?? : 凭经验??瞎猜?? 推文也说了很多了，其实真的就是经验跟一点点的瞎猜。 不过其实还是有一些方向可循的。 首先，观察一下分部积分的公式：∫udv = uv - ∫vdu 。 会发现被我们当作 u 的部份，到了等式的右边，会被拿去微分； 被我们当作 v 的部份，到了等式的右边，会被拿去积分。 所以我们需要思考的是：到底应该把谁拿去微分、把谁拿去积分？ 我们做分部积分，就是因为老老实实地把函数拿去积分没办法积出来， 我们才会想要透过分部积分将积分式写得简单、好看一点。 也就是说，我们选的 u 、 dv 必须能使我们的积分式看起来更好看才可以。 所以，你在选 u 的时候，必须是选那种就算拿去微分也不会变得更复杂的 u ； 在选 dv 的时候，必须是选那种就算拿去积分也不会变得更复杂的 dv 。 举例。 <ex> Evaluate (a)∫x^2 cosx dx ; (b)∫x^2 e^x dx ; (c)∫x^2 lnx dx . <sol> (a) 在这题中，你可以把"x^2 cosx dx"看成四种排列组合： [1]．[x^2 cosx dx] [x^2]．[cosx dx] [cosx]．[x^2 dx] [x^2 cosx]．[dx] u dv u dv u dv u dv 你觉得积谁才不会让原式变得更复杂？微谁才不会变得更复杂？ 注意：我们的原则是积了、微了之後，积分式不会变得更复杂才行。 积出来的东西不一定会变得比较简洁，但无论如何都不能变得更复杂。 如果是我，我会觉得把 x^2 拿去微了，会变得比较简洁，当作 u ； 把 cosx dx 拿去积了，不会变得比较复杂，当作 dv 。 （反正把三角函数拿去积分还是三角函数） 所以我会选 u = x^2, dv = cosx dx => du = 2x dx, v = sinx. 则 原式 = x^2 sinx - 2∫x sinx dx 。 看！原本积分式 x 的次数是 2 次的，现在只剩 1 次了。 同样的动作再做一遍就行了。 (b) 在这题中，同样把"x^2 e^x dx"看成四种排列组合： [1]．[x^2 e^x dx] [x^2]．[e^x dx] [e^x]．[x^2 dx] [x^2 e^x]．[dx] u dv u dv u dv u dv 同样的问题再问一次自己：积谁才不会变复杂？微谁才不会变复杂？ 如果是我，我会觉得把 x^2 拿去微了，会变得比较简洁，当作 u ； 把 e^x dx 拿去积了，不会变得比较复杂，当作 dv 。 （反正指数函数拿去积分还是指数函数） 所以我会选 u = x^2, dv = e^x dx => du = 2x dx, v = e^x. 则 原式 = x^2 e^x - 2∫x e^x dx 。 同学们，原本积分式中 x 的次数是 2 次的，现在只剩 1 次了。 同样的动作再做一遍就行了。 也许你会说，以後做分部积分遇到polynomial，就把它拿去微分就好啦。 可惜的是，人生不如意事，十之八九。 并不是所有的时候我们都必须把polynomial拿去微分的。 我们看下一个例子。 (c) 在这题中，同样把"x^2 lnx dx"看成四种排列组合： [1]．[x^2 lnx dx] [x^2]．[lnx dx] [lnx]．[x^2 dx] [x^2 lnx]．[dx] u dv u dv u dv u dv 同样的问题再问一次自己：积谁才不会变复杂？微谁才不会变复杂？ 今天，我就是不会积x^2 lnx，才会想来用分部积分， 但最左边的红色 dv 竟然还叫我把他拿去积一积，我连开始都不想开始。淘汰。 此外，把最右边那个选项的黄色 u 拿去微分，发现 u 会立刻变得很丑， 所以也淘汰掉算了。剩下中间两个可能的选项。 两相比较之後，如果你要我积 lnx ，我会很不愿意。 虽然 lnx 是积得出来的，但是积出来的东西跟 x^2 积出来的东西一比， x^2 积出来的东西显然好看多了。 因此这种情况，我反而宁愿把 lnx 拿来微，当作 u ； 把 x^2 dx 拿来积，当作 dv 。 因此我设 u = lnx, dv = x^2 dx => du = 1/x dx, v = 1/3 x^3 则 原式 = 1/3 x^3 lnx - 1/3 ∫x^3 /x dx = 1/3 x^3 lnx - 1/3 ∫x^2 dx （polynomial被1/x除掉了！） = 1/3 x^3 lnx - 1/9 x^3 + C 。 同学们，我们要感谢 lnx 的美好性质。 因为polynomial正好可以被 1/x 降次， 所以就算我们把polynomial拿去积，也不会让原积分式变得更复杂。 因此你得到一些经验法则： 1. 当polynomial与三角函数或指数函数乘在一起时， 把polynomial当 u ，把三角函数dx、指数函数dx当成 dv 。 2. 当polynomial与对数函数乘在一起时， 把polynomial dx 当成 dv ，把对数函数当作 u 。 剩下的，就要请你自己从习题中摸索罗。 谨记：做分部积分时，要将积分式中的函数视为两个函数相乘（小心该函数可能是1）。 观察两个函数，看谁被微、谁被积之後，不会让积分式变得更复杂。 令被微的那个函数为 u ，令被积的那个函数f(x)dx 为 dv 即可。 话虽如此，你要能判断谁被微、被积之後不会让积分式变得更复杂， 我们还是要对各种函数有一定程度的熟悉才行。因此多做习题还是必要的。 此外，有推文说得有道理：要怎麽取 u、v 其实都可以，只是好不好算的问题。 -- 政宗さま！足、舐めたい！ --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 218.166.35.244 感谢指正！ ※ 编辑: calvin4 来自: 218.166.39.217 (08/04 23:53)