作者jianbanglin (一个人~我会努力的~)
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标题Re: [代数] 一题线代证明
时间Wed Oct 24 12:58:37 2007
※ 引述《uncry (有没有那麽难拆。)》之铭言：
: ※ 引述《alexforme (鸿爷)》之铭言：
: : 请问tr(AB)=tr(BA)
: : 的详细证明过程
: : 感谢各位的回答
: 若A, B都是nxn
: n n n n
: tr(AB) = Σ Σ aij bji = Σ Σ bji aij = tr(BA) done.
: i=1 j=1 j=1 i=1
我来把它推广为非方阵的好了(较严谨,方阵只是此例特例)
A为m*n矩阵,B为n*m矩阵
此步骤相乘可以对调的原因
是因为做的是纯量乘法具有交换性
而Σ对调则是因为加法交换性
^
|
m m n
| n m
tr(AB) = Σ (AB)ii = Σ Σ (A)ij (B)ji = Σ Σ (B)ji (A)ij
i=1 i=1 j=1 j=1 i=1
n
= Σ (BA)jj = tr(BA)
j=1
所以对任何矩阵都是OK的!但前提要是相乘起来为方阵!
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