作者XII (Mathkid)
看板Math
标题Re: [统计] 随机取二正整数无公因数之机率
时间Fri Oct 12 22:45:38 2007
※ 引述《Hastur (哈斯塔)》之铭言：
: 完整题目如下
: 「由下列事实
: 1+1/4+1/9+......1/n^2...... = pi^2 / 6
: (数学式子不会打，就是Euler那个有名的无限项之和，pi就是圆周率)
: 证明:随机选出二正整数m与n，则m与n无公因数之机率为6 / pi^2」
: 是我在看闲书时看到的题目，一直想不出来，很困扰，希望有人帮我解惑
: 谢谢<(_ _)>
P(p|m and p|n)=P(p|m)*P(p|n)=(1/p)(1/p)=1/p^2
1
P((m,n)=1)=Π(1-P(p|m and p|n))=Π(1-1/p^2)=Π(------------------------)
p p p 1+1/p^2+1/p^4+1/p^6+..
1
=------------------------=6/π^2
1+1/2^2+1/3^3+1/4^2+..
q.e.d.
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◆ From: 125.225.194.4
1F：推 Hastur:呜呜，谢谢> <之前最後一步一直想不出来……终於懂了 10/12 23:06
2F：→ eggsu :赞！ 06/24 13:47