※ 引述《k5l220 (抖抖)》之铭言： : 请问一下 傅立叶积分可以用在周期函数吗 : 之前算题目 有周期函数要求傅立叶积分 : 可是我不知道是题目有错还怎样 : 还是有特殊情形周期函数就可以用傅立叶积分 : 有人可以帮我解答一下吗 谢谢 可以，这是信号与系统常见的问题... 所以以下推导不是数学系所中意的，只能拿来给工程师看 请板上众高手鞭小力些.. 下面我用的Fourier Transform pair定义如下： F( x(t) ) = S x(t) exp(-j2πft) dt -1 F( X(t) ) = S X(f) exp(j2πft) df 式子中 S 代表积分，区间均为正负无限大。一般而言，x(t)与X(f) 被称为Fourier Transform pairs, 并在工程上常以下列符号表示 x(t) <--> X(f) ----- 要用Foureir Transform要知道下面三件事情 1. 周期函数以pulse sequence表达 首先假设 S(t) 是周期函数 s(t) = S(t) for 0 <= t < T （第一个周期） = 0 for else 那麽 S(t) = s(t) * Σ δ(t - kT) -- (1) k 其中 * 代表convolution 注意 Σδ(t - kT) 代表在t轴上，周期为T的pulse函数序列 (1)式的意义为，s(t)和pulse序列做convolution後，就是原本的 周期函数S(t) 2. 时域上做convoultion相当於频域上相乘 接着要对S(t)做Fourier Transform之前，要先知道 一个convolution的性质，就是 x(t) * y(t) <---> X(f)Y(f) -- (2) 也就是说，两个函数x ,y在time domain做convoultion，在frequency domain 相对应的动作是这两个函数经过Fourier Transform後, X, Y相乘 3. Σ δ(t - kT) 的Fourier Transform well, 我承认这个是背出来的结论:p, 这是众多工程用书上的结论 without proof。 这个pulse序列的Fourier Transform为另一个pulse序列： 1 k Σ δ(t - kT) <--> --- Σ δ(f - ---) -- (3) k T k T ---- 有了以上3点，我们用这3点找 周期函数 S(t) 的Fourier transfrom: 首先利用1. 我们有 S(t) = s(t) * Σ δ(t - kT) 再来利用2. 把等号两边都取Fourier Transform，所以我们有 F( S(t) ) = F( s(t) * Σ δ(t - kT) ) = F( s(t) ) x F( Σ δ(t - kT) ) ('x'代表相乘) 1 k 利用3. = F( s(t) ) x --- Σ δ(f - ---) T T 1 k = Ss(f) x --- Σ δ(f - ---) (Ss(f) 代表 s(t) T T 的FourierTransform) 1 k k = --- Σ Ss(---) δ(f - ---) T T T 因此，简单的说，周期函数的FourierTransform就是 先把其中一个周期里，函数的样子拿去做Fourier transform後 再把transform之後的结果，每隔 1/T 为周期， 用pulse序列取sample。 欢迎去修信号与系统你会对Fourier Transform有更直觉的认识XD --

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