※ [本文转录自 share 看板] 作者: abby02 (飞翔的心宿二) 看板: share 标题: Re: [资讯] 解「庞加莱猜想」俄数学奇才 靠老妈养活 时间: Mon Aug 21 14:45:46 2006 ※ 引述《chiachia23 (没完没了的夏天)》之铭言： : http://www.epochtimes.com/b5/4/9/8/n653931p.htm : 天才呀.... : 而且他说不会去领 : 果然数学家都很超我!!! http://city.udn.com/v1/blog/article/article.jsp?uid=YST2000&f_ART_ID=343451 关於"庞加莱猜想" 我想这篇应该可以帮大家搞清楚一点吧.. =============以下是文章内文============================================== 庞加莱（Poincare）是二十世纪初、也是世界数学史上最伟大的数学家之一。在１９ ０４年，他给了下面这个猜想： 在三度空间里，任何封闭的、单一连结的流形（manifold）一定和三度空间的球 (sphere)同胚（homeomorphic）。 如果没有足够的知识背景，上面这个数学命题就不容易精确地叙述。但是精确的叙述 又要牵涉很多奇怪的名词。不要害怕，更无需惊慌，这些名词都是唬人的。YST给诸 位一个非常直觉的解释，不需要艰深的数学定义就能了解，虽不中亦不远矣。您只要 有一点点空间想像力，就大概知道近代几何学家到底在想什麽。 庞加莱猜想是一个几何学上的基础问题。几何学里有一个分支，叫做拓普学 （topology），专门研究几何图形在空间的连续变化。任何两个几何形体A与B，如果 能够经过连续变化从A得到B，我们就叫A与B同胚（homeomorphic）。基本上，数学家 把同胚的几何形体当作同样的东西，没有区别的必要。 数学家最爱举的例子，就是一个咖啡杯与一个甜甜圈（donut）是「同胚」。为什麽呢 ？我们来仔细瞧瞧这两件物体。 首先，你把甜甜圈竖立起来。然後，你可以想像用手指去压甜甜圈顶端的某一处，然後 那个地方就陷下去，形成一个窝。你再继续用力，那个深陷的窝就变得越来越大。当这 个窝变得足够大的时候，这个窝就是盛咖啡的凹陷的部份，剩下的部分就是咖啡杯的耳 朵，你可以一个指头伸进去、四个指头在外面稳稳地拿着。你看，一个甜甜圈经过连续 的变化，就变成一个咖啡杯了。所以数学家说，一个咖啡杯与一个甜甜圈是「同胚」。 但是一个甜甜圈跟YST最喜欢吃的新竹贡丸就不是「同胚」。为什麽呢？因为甜甜圈中 间有一个洞而贡丸没有，所以无论你怎麽做连续变化，怎麽努力的捏它，绝不可能把甜 甜圈变成贡丸。 为了区别「有洞」和「没洞」的几何形体，数学家取了一个新名词叫做「单一连结」 （simply connected），并且给它下面这个定义： 一个形体，如果在它上面任何一个封闭曲线都可以缩成一个点，我们称这个形体是「单 一连接」的。 我们很容易看出来新竹贡丸是「单一联结」的，而甜甜圈不是「单一连接」。用直觉的 说法，「单一连接」的形体是没有洞的。 好了，我们现在大致可以描述「庞加莱猜想」是说甚麽了。 这个法国大数学家庞加莱在１９０４年做了下面这个猜想： 任何封闭的、单一连接的、三度空间的形体，一定和三度空间的球，是「同胚」。 庞加莱的猜测也就是说，在三度空间里，任何一个封闭的、没有洞的形体，一定可以被 捏成一个球。 你看到这个命题一定会哈哈大笑，这麽简单的道理当然是真的啦！但是，这只是你直觉 下的想像。数学的定理都是在几个「公理」下，用逻辑严密的推论，一步一步地证明出 来的。这种越是看起来简单、道理非常明显的命题，其证明越是困难。 庞加莱的猜测难倒了全世界的数学家，当然也包括他自己。後来数学家把「庞加莱猜想 」由三度空间延伸到任何 N 度空间，N 是一个大於或等於３的整数。 YST有一位数学家朋友多年前曾经告诉我，大概过了半个多世纪，也许是６０年代吧， 美国出现了一位年轻数学家叫史曼（Stephen Smale），他发明了一个非常天才的方法 ，把「庞加莱猜想」的一部分证明出来。他证明当 N 大於或等於５的时候，「庞加莱 猜想」为真。史曼天才式的证明使他声名鹊起，获得了数学界的最高荣誉，1966年的费 尔兹奖（注）。 二十年後美国又出现了一位天才数学家，叫费德曼（Michael Freedman），他证明了 N = 4 的「庞加莱猜想」。费德曼获得了1986年的费尔兹奖。 但是这些都是「庞加莱猜想」的延伸，真正原始的、三度空间的「庞加莱猜想」一直未 能被证明出来。这个二十世纪最有名的猜想，是当今数学七大难题之一。美国麻省有一 个克莱数学研究所（Clay Mathematics Institute），在公元两千年设立了「世纪难题 大奖」，对这七个难题每个悬赏一百万美元。 在此附带一提的是，七大世纪难题其中的第五个难题，是杨振宁—米尔斯方程式（ Yang-Mills Equations），描述物理里「杨振宁—米尔斯规范场理论」的数学方程式。 我认为「杨振宁—米尔斯规范场理论」也许是杨振宁对物理最大的贡献，超过他与李政 道获得诺贝尔奖的「宇称不守恒理论」。据说杨振宁的博士指导教授泰勒博士（Edward Teller，美国氢弹之父）强烈建议诺贝尔委员会应该颁发杨振宁第二个诺贝尔奖。 好了，让我们回到主题，「庞加莱猜想」。 在两个伟大的美国数学家之後，这次轮到俄国和中国的数学家了。2002年俄国天才数学 家派瑞曼（Grigori Perelman）号称把「庞加莱猜想」不但证明出来，而且证明在一个 更广的定义里，也就是说「庞加莱猜想」只是他证明的一个特殊情况。2003年派瑞曼把 他的证明放在国际网路里的一个数学网站，供大家欣赏。并且接受中国数学家田刚（美 国麻省理工学院教授）的邀请来美国做一连串的演讲，非常轰动，也引起了激烈的竞争 。 这时候，由中国数学家丘成桐（哈佛大学教授，1982年费尔兹奖得主）领导的研究小组 也在做同样的问题。曹怀东（美国黎海大学教授，丘成桐的学生）与朱熹平（中国中山 大学教授）也号称作出了「庞加莱猜想」的全部证明，并抢先正式发表了结果。 派瑞曼的证明在先，但是只发表在网站上，不是正式的数学杂志，也没有编辑审阅。这 麽复杂的证明３年来一直被全球数学家检验，尚未获得证实。 曹怀东与朱熹平则在哈佛大学花费了半年时间在该校讲解他们的证明，然後把结果正式 发表在今年６月的亚洲数学杂志，全部证明长达三百页，该期杂志只登载他们两人的这 一篇文章。 谁真正证明了「庞加莱猜想」？派瑞曼？曹怀东与朱熹平？我不知道。 十年前，美国数学家汉米尔顿（Richard Hamilton）发明了「瑞丝流」（Ricci flow） 的新概念为「庞加莱猜想」的证明打下了根基。 三年前，俄国数学家派瑞曼在「瑞丝流」的基础上搭盖出来了「庞加莱猜想」证明的整 个结构，并给出了证明。但据说他的证明里面有暇疵。 最後，中国数学家曹怀东与朱熹平根据派瑞曼的结构，把所有的证明漏洞都补起来，完 成了全部的证明。用丘成桐的话，曹怀东与朱熹平为「庞加莱猜想」这个百年难题封了 顶。 科学家之间的竞争非常激烈。「庞加莱猜想」就是一个很好的例子。 汉米尔顿的功劳非常大，也许是最大，因为他为「庞加莱猜想」的证明打下了基础。但 是他没有给出证明。 派瑞曼的功劳也很大，因为他给出了证明。即使证明的细节里面有错，但是证明的结构 是他建立的。 曹怀东与朱熹平作出了「庞加莱猜想」完整的证明，而且正式发表了结果。但是即使证 明是完美无瑕的，他们用的是汉米尔顿的根基与派瑞曼的结构，在创造力上逊於前面两 位数学家，除非他们的证明指出了派瑞曼的结构有重大错误，而他们发明了非常天才的 方法另起炉灶，绕过这个结构所产生的困难，而完成了证明。 在这里我们必须了解，数学上的证明并不是最重要的。为了证明某个问题而发明出开创 性的新观念与新技巧，这才是最重要的。 今年８月在西班牙的首都马德里，要举行国际数学大会。所有问题的答案都会在大会上 揭晓。 YST做一个不负责任的预测：在这场激烈的世界脑力长途竞赛中，派瑞曼将是马德里国际 数学大会上真正的英雄。 注： 当年诺贝尔在设立这个以他的名字为奖的时候，在他的遗嘱里特别指明不可设立数学奖 。据说这是因为他的老婆跟一个数学家私奔了，诺贝尔直到去世，他对数学家的余恨未 消。 加拿大数学家费尔兹（John Charles Fields）眼见数学没有国际性的奖励，就成立了 费尔兹奖，主要是鼓励年轻的数学家。第一次给奖是在1936年，後来空了好几年，然後 在一九五０年起便没有中断过。 费尔兹奖（Fields Medal）是数学的最高荣誉。有人把费尔兹奖比喻成数学的诺贝尔奖 ，其实不太恰当。费尔兹奖非常特别，我个人认为可能比诺贝尔奖要困难得多。首先费 尔兹奖有年龄的限制，不能超过四十岁；其次，它四年才颁发一次，每次不能超过四人 ；第三，它不是因为某一项特殊成就而给奖，而是要求有整体的贡献。 曹怀东（四十六岁）与朱熹平（四十二岁）是不可能得费尔兹奖的；派瑞曼刚好是四十 岁，也许有可能在今年获奖。 -- ◣ ◢ ◢ ◣ ||| ◣ ◢ ︶=/ \=︶ =˙˙=╭ ▁ ▁ ▲～ ◤◣╯ = ︿ = ▲～ --

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