作者scorpioeric (常行一式)
看板Math
标题Re: [问题] i的i次方?
时间Wed Aug 2 00:23:49 2006
比较正规的方式是
i^i 取log
设 Z 为复数 , Z = r * e^( i x + 2 kπ) , |Z| = r , arg(Z) = x + 2 kπ (幅角)
k = 0,1,2,3 ...
复数的log规定是 log(Z) = ln|Z| + i arg(Z) 且 e^( b*log(a) ) = a^b
所以 Z = i 时 , Z = r * ( cos x + i sin x ) = r * e^(i x+ 2 kπ)
x = 0.5π , r = 1
所以 i^i = e^( i*log(i) ) , log(i) = ln | 1 | + i(0.5π+2 kπ) = i(0.5π+2 kπ)
= e^[ i*i(0.5π+2 kπ)]
= e^(-(0.5π + 2 kπi))
楼下大大解答很简单,相当易懂
但是要记得要加 2 kπi , 因为复数的指数不是函数,所以有一对多关系
※ 引述《zzxxzz (jokeman)》之铭言：
: 因为 e^(iθ)=cosθ+isinθ
: 所以 i=0+i*1=cos(0.5π)+isin(0.5π)=e^(i(0.5π))
: i^i=cos(0.5πi)+isin(0.5πi)=e^(ii(0.5π))=e^(-0.5π)
: 1
: = ──── =http://tinyurl.com/lpcxj
e^(0.5π)
: 关键在先找出i在复数平片的θ角度
: 套用隶美弗定理z^＝r^(cos(nθ)＋sin(nθ)i)求i^i的θ角度
: 此角度代入e^(iθ)即得解，yes!
: 以上是在物化课本学的，若用取natural log 我一直算不出来。
: ※ 引述《kerbi (可比)》之铭言：
: : i = 根号-1
: : 请问i^i 也就是i的i次方 = ?
: : 刚我朋友问我的
: : 他说没答案orz...
: : 请强者帮解答一下 谢谢QQ"
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1F：→ RAINDD:不是加 2kπi 喔，是加 2kπ，exp(-0.5π+2kπ) 一对多函数 08/02 01:37
2F：→ scorpioeric:没错,谢谢 08/02 20:02
3F：→ eggsu :第三行 Z=r*e^(ix+2kπ)应改成Z=r*e^(i(x+2kπ)) 05/30 23:09