以下文字转录自北京大学bbs ----------------------------------------------------------------------------- Riemann是对现代数学影响最大的数学家之一（之一甚至可以去掉），其中就包括对 代数几何的深刻影响，Dieudonne 甚至称Riemann这个时期的函数论研究是整个代数几 何历史中最重要的一步，Riemann是通过研究Abel函数论涉足代数几何的。他在研究复变 函数时，提出了Riemann Surface的概念 ，把Abel函数论和Riemann Surface的工作综合 起来，Riemann把代数曲线作为Riemann Surface上的函数论来研究，并且引进第一个 birational maps 的不变量──Genus，只有在代数几何里才有 birational equivalence， 这就使得代数几何比微分几何或者拓扑更加的rigid,从而开辟了代数几何的新篇章。 　　通过genus，Riemann有提出了Moduli的概念，现在这个东西可是大热门，并且和他 的学生Roch得出了代数几何学中的一条中心定理──Riemann-Roch定理，此定理是说： 设X为亏格g的曲线，D为X上的除子则有：L（D）─L（D─K）=degD+1─g，K是一典则除子， 以後对此定理的每一次推广都是代数几何中的一大进步，非常深刻的Atiyah-Singer指标 定理是推广Riemann-Roch定理的颠峰，Atiyah-Singer指标定理横跨代数几何，拓扑，分 析，偏微分方程，多复变等好几个核心数学领域，并且在物理学中Yang-Mills场论中得到 了重要的应用，但是，指标定理的根基还是在代数几何里面。 1866年，Riemann因病去世，此时他才40岁，以Riemann的成绩来观之，足可见 Riemann是何等的伟大！斯人已逝，数学上一个辉煌的时代也随之结束了。Riemann的成就被 後来各种流派所继承，而作出比较重要的工作的是克勒布什（Clebsch），而他的学生 M.Noether（就是那个伟大的E。Noether的父亲）则用代数几何的观点来看待Riemann Surface，几何化的思想和强烈，而几乎同时，Dedkind和Weber开辟了以理想为 基础代数方向，Kronecker则开辟了以除子为基础的算术方向。这三个方向最後在 Grothendieck那里会聚在一起，构成一个大一统的气势恢弘的抽象代数几何体系。 从19世纪80年代末起，意大利的代数几何学派继承了M。Noether的几何思想，开始了 代数曲面的研究，学派的主要代表人物是Castelnuovo，Enriques和Severi，他们主要是 进行代数曲面的分类工作，与此同时法国数学家如Poincare和Picard却在用超越的方法研 究代数曲面。承前可以看出，Riemann 以後的人都是在尽力继承和推广Riemann 的工作，可以说Riemann的主要思想是所有人的基础，而Riemann关於曲面的最重要的思想都 与复分析有关，所以，古典代数几何的一个大框架还是三维复射影空间CPn中的代数曲线和 曲面。 随着数学的发展，人们对高维空间的需要越来越明显，所以，代数几何中对高维代数 簇的研究已不可避免，而且意大利几何学派的代数几何不够严密，急需牢靠的理论基础来 支撑其只管的思想，意大利几何学派在分类代数曲面上已经走到了尽头，而在同时期，数 学的另外一个分之，代数数论却涌现出了许多新的思想，出现迅猛发展的势态。（经典） 代数数论是研究代数数域和它的代数整数环的代数和算术性质的，而高维代数簇是基本域 K上代数方程组的解，比如一维代数簇就是K上的代数曲线，考虑代数簇上的整数点，这就 成了数论问题，又根据德国F。Klein的Erlanger纲领，几何学是研究某些数学对象在某 个群作用不变量的理论，如果要寻找代数几何中的作用群的话，那麽就代数簇之间的双有 理变化群，所以，代数几何学的抽象化已经成了它继续向前发展的巨大动力和迫切需要。 对其抽象化的工具也正在夜以继日的被锻造，抽象代数学之母E。Noether及其学派发 展了一整套强大的抽象工具，E。Noether的学生Van Der Waerden首先把抽象代数学引 进代数几何里，接下来的一位重要人物是Zariski，他先是从师於意大利代数几何学派的 Castelnuovo，但是对此学派工作的不严密性耿耿於怀，从而促使他立意改造古典的代数 几何，先是在Lefchetz的影响下用拓扑工具处理代数几何问题，但成效不大，後来了解到 E。Noether及其学派的工作，大为振奋，遂集中精力运用代数方法重新改写古典的代数几 何，《代数曲面》一书的完成标志着代数几何的抽象化真正开始了，也标志着代数几何研 究进入了Zariski时代，从这时起，代数几何里开始人才辈出，并且法国的Bourbaki学派 在以後代数几何学发展的光辉岁月里扮演了一个主要角色，Bourbaki学派的主要代表人物 之一Weil用更加抽象的观点写了一部《代数几何基础》，Weil的本意是想用有限域上的代 数几何学来解决代数数论的问题，却不料搞出了个Weil猜想 （不是Deligne证明的那个Weil conjecture）， 为了证明这个猜想就特意写了这部抽象的书，从此，代数几何又进入了Bourbaki时代。 後来Serre评价那部书时说：这本三百页的巨着很难懂，而在20年後又被Grothendieck的 更加难懂的《代数几何原理》所代替“这个《代数几何原理》就是江湖上传说的EGA。 Weil在书中充分使用了E。Noether及其学派发展的交换代数理论和语言， 提出了代数几何里的一些重要概念，是代数几何学发展中的一个里程碑。所幸的是，书写 出来後，先前那个猜想也被Weil证明了，这个事件意义重大预示了以後的Bourbaki精神为 了抽象而抽象，而是有着具体的问题背景的，以此为出发点的抽象才是有意义的抽象，才 有成效性，才能用来解决更加困难的问题。 代数几何沿着Weil的道路进行着它的抽象化征程，其间，Kodaira用调和积分理论将 Riemann-Roch定理由曲线推广到曲面，德国数学家Hirzebruch不久又用sheaf的语言和拓 扑成果把它推广到高维复流形上，J-P.Serre在sheaf的基础上定义了一般的代数簇，使得 代数簇成为具有Zariski拓扑的拓扑空间，从而在代数几何里引入了日後起重要作用的上 同调理论，不过，Serre在代数几何里最重要的贡献，我觉得是吸引Grothendick到代数几 何里来。 自从Grothendick介入代数几何後，代数几何的面貌完全改观，尽管在代数几何里王 者辈出，但是，大家心目中的教皇只有一个，那就是伟大的Grothendick。Grothendick是 法国数学家，Bourbaki成员，1928年生於德国柏林，由於第二次世界大战，致使他没有受 到正规的大学阶段的数学训练。1953年以前主要致力於泛函分析，创造了核空间，拓扑张 量积等概念，这些概念现在在泛函分析里十分基本和重要，一系列深刻的泛函分析工作就 足以使他跻身於数学界的巨人行列，但是，他的影响更为深远的工作是後来在代数几何上 划时代的贡献，代数几何学经过Van Der Waerden，Zariski，Weil和Serre等人的推广 ，代数簇已经完全抽象化了，但是，代数簇最彻底的推广则是Grothendick在20世纪50年 代末做出的，这就是他的抽象概型理论和强有力的上同调理论。 仿射概型（Affine Schemes）是一个局部戴环空间（X，Ox），而且它同构於（作为 局部戴环空间）某个环的谱。概型是局部戴环空间，在它中每点有一个开邻域U使得拓扑 空间U和限制层Ox|U是一个Affine Schemes，X叫做概型（X，Ox）的承载拓扑空间，Ox叫 做它的结构层。例如，若K是域，Spec K则是一个Affine Schemes，它的拓扑空间由一点 组成，它的结构层由域K组成。Grothendick为了给它的这座大厦打下坚实的基础，和他的 老师Dieudonne合作写了一部四卷本的巨着，总共有7本书，这就是前面Serre提到过的” 更加难懂的《代数几何原理》“，(《Elements de Geometrie Algebrique》简称EGA ，道上的朋友只要听到EGA，就知道你要说什麽了)，这是世界上概型和上同调最权威的参 考文献，Dieudonne评价说： ”Clearly, the theory of schemes includes,by definition, all of commutative algebra as well as all of the theory of the varieties of Serre。“ Scheme把代数几何和代数数域的算术统一到一个共同的语言之下，使得在代数数论的 研究中可以应用代数几何中的大量概念和思想以及技巧。开始的时候，人们对Grothendick 这套庞大的抽象体系究竟有什麽用感到非常的茫然，但是，在Deligne使用Grothendick的 理论证明了高维Weil猜想後（这是Weil的另外一个猜想，是有限域上高维代数簇的Riemann 猜想的模拟），情形就发生了剧烈的变化，到了70年代末，这套概型语言和上同调机制已 经被许多同行所熟悉和掌握，并已成为研究现代代数几何学与数论（主要是指算术几何） 的通用语言和基本工具。1983年Faltings证明Mordell猜想也使用了这套机制，由此可见 Grothendick所建立的这套概型理论是多麽的重要。1973年Deligne证明的高维Weil猜想是 特征P（有限域上）的算术几何的巨大进步，10年後Faltings所证明的Modell猜想则是特 征0（整体域上）的算术几何的巨大突破，这里又一次说明了能解决具体问题的抽象才是 好的抽象，才是有意义的，为抽象而抽象的工作最终将被人们遗弃。Grothendick的另一 个目标是致力於发展各种上同调理论，如L─adic上同调和etale上同调，以致最後他走向 了”终极上同调不变量“，即动机理论（motive theory），使得所有其他的上同调理论 都是它的一种表示或者化身（即它的具体化）， 这个理论随着1970年 Grothendick的”金盆洗手“，也成了一个美丽的Grothendick之梦。 不过，已经由它产生了大量好的数学，如1970年Deligne和R.Langlands猜想motives 和自守表示之间的精确关系，A.Wiles的FLT的证明，本质上就是证明了这个猜想在椭圆曲 线所产生的2维motievs的特殊情况，这个猜想使得motives和现在着名的Langlands纲领联 系起来了，而且2002年菲奖得主Voevodsky的工作也与motives有关，Grothendick的梦想 或许有一天又会成为一个伟大的理论。 Grothendick在代数几何学方面的贡献大致可分为10个部分： 1连续与离散的对偶性； 2，Riemann-Roch-Grothendick理论（主要是K理论与相交理论的关系）； 3，Scheme theory； 4，拓扑斯（Topis theory）； 5，L─adic上同调和etale上同调； 6，motives与motives的Galois Group（包括Grothendick的圈范畴）， 7，晶体与晶状上同调，de Rahm系数，Hodge系数理论； 8 新的同伦代数，Topis的上同调； 9，稳和拓扑； 10，非交换的代数几何学，加罗瓦─泰什缪勒理论。 这些思想被总结在EGA，SGA和FGA以及其他大量的手稿中，EGA和SGA现在已经成为代数几 何中的圣经了，EGA，SGA和FGA加起来大约有一万余页。Grothendick的博大精深的理论还 远远没有弄清楚，但是却已经产生了非常深刻的数学成果。 代数几何学与其他许多学科都有着密切的联系，如拓扑学，微分几何，复几何，分析 ，代数，数论等，并且在现代理论物理中也有重要的应用，被Atiyah称为21世纪的三大数 学理论的算术几何更是与代数几何息息相关，抽象代数几何学必将在21世纪得到更进一步 的发展，继续成为21世纪的主流数学领域。我国研究代数几何的人比较少，水平也比较低 。代数几何学的震撼人心的魅力将会吸引一批有天才的人，去投身21世纪的数学辉煌时代 的缔造工作！ -- --

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