丘成桐（在北大百周年校庆学术报告会上的演讲） 今天要讲的是数学的内容、方法和意义，这原是苏联人写的一本书的书名，和今天的 演讲内容借过来作为演讲的名称。 今天是北大百周年校庆，五四运动便是北大学生发动的。作为演讲的引子，让我们先 简略地回顾一下“五四”前後中西文化之争。十九世纪中业以後，中国对西文科技的认识 ，是“船竖炮利”，在屡次战争失利後，张之洞提出了“中学为体、西学为用”的主张， 即以传统儒家精神为主，加入西方的技术。到了五四运动前後便有了科玄论战。以梁漱溟 为主的一派以东方精神文明为上，扞卫儒学，以为西方文明强调用理性和知识去征服自然 ，缺乏生命之道，人变成机械的奴隶；而中国文化自适自足，行其中道，必能发扬光大。 其时正值第一次世界大战结束，西方哲学家罗素等对西方物质文明深恶痛绝，也主张向东 方学习。另一派以胡适为首者则持相反意见，他们以为在知识领域内科学万能，人生观由 科学方法统驭，未经批判及逻辑研究的，皆不能成为知识。 科玄论战最终不了了之，并无定论。两派对近代基本科学皆无深究，也不收集数据， 理论无法严格推导，最後变得空泛。其实这便是中国传统文化之一特点。一方面极抽象， 有质而无量，儒道皆云天人合一，禅宗又云不立文字，直指心性。另一方面则极实际，庄 子说“蔽於天而不知人”。古代的科学讲求实用，一切为人服务，四大发明之一指南针、 造纸、印刷术、火药莫不如此。要知道西方技术之基础在科学，实际和抽象的桥梁乃是基 本科学，而基本科学的工具和语言就是数学。 历代不少科学家对数学都有极高的评价。我们引一些物理学家的话作为例子。R.Feynman 在「物理定律的特性」一书中说我们所有的定律，每一条都由深奥的数学中的纯数学 来叙述，为什麽？我一点也不知道。E.Wigner说数学在自然科学中有不合常理的威力。F .Dyson说：在物理科学史历劫不变的一项因此,就是由数学想像力得来的关键贡献，基本 物理既然由高深的数学来表示。应用物理，流体等大自然界的一切现象，只要能得到成熟 的了解时，都可以用数学来描述。写过「湖滨散记」的哲人梭罗也说有关真理最明晰，最 美丽的陈述，最终必以数学形式展现。 其实数学家不只从自然界吸收养分，也从社会科学和工程中得到启示。人类心灵中由 现象界启示而呈现美的概论，只要能够用严谨逻辑来处理的都是数学家研究的对象。数学 和其他科学不同之处是容许抽象，只要是美丽的，就足以主宰一切，数学和文学不同之处 是一切命题都可以由公认的少数公理推出。数学正式成为系统性的科学始於古希腊的欧机 里德，他的「几何原本」是不朽名作。明末利玛窦和徐光启把它译成中文，并指出“十三 卷中五百余题，一脉贯通，卷与卷，题与题相结倚，一先不可後，一後不可先，累累交承 渐次积累，终竟乃发奥微之义”。复杂深奥的定理都可以由少数简明的公理推导，至此 真与美得到确定的意义，水乳交融，再难分开。值得指出，欧基里德式的数学思维，直接 影响了牛顿在物理上三大定律的想法，牛顿距着「自然哲学的数学原理」与「几何原本」 一脉相承。从爱因斯坦到现在的物理学家都希望完成统一场论，能用同一种原理来解释宇 宙间的一切力场。 数学的真与美，数学家的体会深刻。Sylvester说“它们揭露或阐明的概念世界，它 们导致的对至美与秩序的沉思，它各部分的和谐关联，都是人类眼中数学最坚实的根基” 。数学史家M.Kline说“一个精彩巧妙的证明，精神上近乎一首诗”。当数学家吸收了自 然科学的精华，就用美和逻辑来引导，将想像力发挥的淋漓尽致，创造出连作者也惊叹不 已的命题。大数学家往往有宏伟的构思，由美作引导，例如Weil猜想促成了重整算数机何 的庞大计划，将拓扑和代数几何融入整数方程论中。由A.Grothendieck和P.Deligne完成 的Weil猜想，可说是抽象方法的伟大胜利。回顾数学的历史，能够将几个不同的重要观念 自然融合而得出的结果，都成为数学发展的里程碑。爱因斯坦将时间和空间的观念融合， 成为近百年来物理学的基石；三年前A.Wiles对自守型式和Fermat最後定理的研究，更是 扣人心魄。数学家能够不依赖自然科学的启示得出来的成就，令人惊异，这是因为数字和 空间本身就是大自然的一部分，它们的结构也是宇宙结构的一部分。然而，我们必须紧记 ，大自然的奥秘深不可测，不仅仅在数字和空间而已，它的完美无处不在，数学家不能也 不应该抗拒这种美。 本世纪物理学两个最主要的发现：相对论和量子力学对数学造成极大的冲击。广义相 对论使微分几何学“言之有物”，黎曼几何不再是抽象的纸上谈兵。量子场论从一开始就 让数学家迷惑不已，它在数学上作用仿如魔术。例如Dirac方程在几何上的应用使人难以 捉摸，然而它又这麽强而有力地影响着几何的发展。超对称是最近二十年物理学家发展出 来的观念，无论在实验或理论上都颇为诡秘，但借着超弦理论的帮助，数学家竟能解决了 百多年来悬而未决的难题。超弦理论在数学上的真实性是无可置疑的，除非造化弄人，它 在物理上终会占一席位。 上世纪末数学公理化运动使数学的严格性坚如盘石，数学家便以为工具已备，以後工 作将无往而不利。本世纪初Hilbert便以为任何数学都能用一套完整的公理推导出所有的 命题。但好景不常，Godel在931年发表了着名的论文“「数学原理」中的形式上不可断定 的命题及有关系统I”。证明了包含着通常逻辑和数论的一个系统的无矛盾性是不能确立 的。这表示Hilbert的想法并非是全面的，也表示科学不可能是万能的。然而由自然界产 生的问题，我们还是相信Hilbert的想法是基本正确的。 数学家因其品禀各异，大致可分为下列三种： (一)创造理论的数学家。这些数学家工作的模式，又可粗分为七类。 ●从芸芸现象中窥见共性。从而提炼出一套理论，能系统地解释很多类似的问题。一个明 显的例子便是上世纪末Lie在观察到数学和物理中出现大量的对称後，便创造出有关微分 方程的连续变换群论。李群已成为现代数学的基本概念。 ●把现存理论推广或移植到其它结构上。例如将微积分由有限维空间推广到无限维空间， 将微积分用到曲面而得到连络理论等便是。当Ricci,Christofel等几何学家在曲面上研究 与座标的选取无关的连络理论时，他们很难想像到它在数十年後的Yang-Mills场论中的重 要性。 ●用比较方法寻求不同学科的共同处而发展新的成果。例如：Weil比较整数方程和代数几 何而发展算数几何：三十年前Langlands结合群表示论和自守形式而提出 “Langlands纲领"，将可以交换的领域理论推广到不可交换的领域去。 ●为解释新的数学现象而发展理论。例如：Gauss发现了曲面的曲率是内蕴（即仅与其第 一基本形式有关）之後，Riemann便由此创造了以他为名的几何学，成就了近百年来的几 何的发展；H.Whitney发现了在纤维丛上示性类的不变性後，Pontryagin和陈省身便将之 推广到更一般的情况，陈示性类在今日已成为拓扑和代数几何中最基本的不变量。 ●为解决重要问题而发展理论。例如J.Nash为解决一般黎曼流形等距嵌入欧氏空间而发展 的隐函数定理，日後自成学科，在微分方程中用处很大。而S.Smale用h-协边理论解决了 五维或以上的Poincare猜想後，此理论成为微分拓扑的最重要工具。 ●新的定理证明後，需要建立更深入的理论。如Atiyah-Singer指标定理，Donaldson理论 等提出後，都有许多不同的证明。这些证明又引起重要的工作。 ●在研究对象上赋予新的结构。Kahler在研究复流形时引入了後来以他为名的尺度；近年 Thurston在研究三维流形时，也引进了“几何化”的概念。一般而言，引进新的结构使广 泛的概念得到有意义的研究方向。有时结构之上还要再加限制，如Kahler流形上我们要集 中精神考虑Kahler-Einstein尺度，这样研究才富有成果。 （二）从现象中找寻规律的数学家。这些数学家或从事数据实验，或在自然和社会现象中 发掘值得研究的问题，凭着经验把其中精要抽出来，作有意义的猜测。如Gauss检视过大 量质数後，提出了质数在整数中分布的定律；Pascal和Fermat关於赌博中赔率的书信，为 现代概率论奠下基石。五十年代期货市场刚刚兴起，Black和Scholes便提出了期权定价的 方程，随即广泛地应用於交易上。Scholes亦因此而於去年获得诺贝尔的经济学奖。这类 的例子还有很多，不胜枚举。 话说回来，要作有意义的猜测并非易事，必须对面对的现象有充分的了解。以红楼梦 为例，只要看了前面六七十回，就可以凭想像猜测後面大致如何。但如果我们对其中的诗 词不大了解，则不能明白它的真义。也无从得到有意义的猜测。 （三）解决难题的数学家。所有数学理论必须能导致某些重要问题的解决，否则这理论便 是空虚无价值的。理论的重要性必与其能解决问题的重要性成正比。一个数学难题的重要 性在於由它引出的理论是否丰富。单是一个漂亮的证明并不是数学的真谛，比如四色问题 是着名的难题，但它被解决後我们得益不多，反观一些难题则如中流砥柱，你必须将它击 破，然後才能登堂入室。比如一日不能解决Poincare猜测，一日就不能说我们了解三维空 间！我当年解决Calabi猜测，所遇到的情况也类似。 数学家要承先启後，解掉难题是“承先”，再进一步发展理论，找寻新的问题则是“ 启後”。没有新的问题数学便会死去，故此“启後”是我们数学家共同的使命。我们最终 目标是用数学为基础，将整个自然科学，社会科学和工程学融合起来。 自从A.Wiles在1994年解决了Fermat大定理後，很多人都问这有什麽用。大家都觉得 Fermat大定理的证明是划时代的。它不仅解决了一个长达350年的问题，还使我们对有理 数域上的椭圆曲线有了极深的了解；它是融合两个数论的主流──自守式和椭圆曲线── 而迸发出来的火花。值得一提的是，近十多年来椭圆曲线在编码理论中发展迅速，而编码 理论将会在电脑贸易中大派用场，其潜力无可估计。 最後我们谈谈物理学家和数学家的差异。总的来说，在物理学的范畴内并没有永恒的 真理，物理学家不断努力探索，希望能找出最後大统一的基本定律，从而达到征服大自然 的目的。而在数学的王国里，每一条定理都可以从公理系统中严格推导，故此它是颠扑不 破的真理。数学家以美作为主要评选标准，好的定理使我们从心灵中感受大自然的真与美 ，达到“天地与我并生，万物与我为一”的悠然境界，跟物理学家要征服大自然完全不一 样。物理学家为了捕捉真理，往往在思维上不断跳跃，虽说是不严格和容易犯错，但他们 欲能把自然现象看得更透更远，这是我们十分钦佩的。毕竟数学家要小心奕奕、步步为营 ，花时间把所有可能的错误都去掉，故此这两种做法是互为表里，缺一不可的。 在传统文化中，我们说立德，但即从不讨论如何求真，不求真，则何以立德？我们又 说“温柔敦厚，诗教也”，但只是含糊的说美，数学兼讲真美，是中华民族需要的基本科 学。起，”他说：“数学界为你们二位所做的工作感到骄傲。它表明数学这棵长满节瘤的老 树仍然充满着汁液和生机。你们是怎样开始的，就怎样继续下去吧！” 从一九五八年起，改成每位获奖者分别由一位数学家介绍。介绍的内容比较地局限於 工作，对於获奖者个人的情况很少涉及。这个做法，一直延续到最近一次大会。 菲尔兹奖只是一枚金质奖章，与诺贝尔奖金的十万美元相比真是微不足道。为什麽在 人们心目中，菲尔兹奖的地位竟然与诺贝尔奖金相当？ 原因看来很多。菲尔兹奖是由数学界的国际学术团体──国际数学联盟，从全世界的 第一流数学家中遴选的。就权威性与国际性而言，任何其他的奖励都无法与之相比。菲尔 兹奖四年才发一次，每次至多四名，因而获奖机会比诺贝尔奖要少得多。但是主要的原因 应该是：迄今为止的获奖者用他们的杰出工作，证明了菲尔兹奖不愧为最重要的国际数学 奖。事情就是这样：从表面上看，一项奖赏为获奖人带来了巨大荣誉；而事实上正相反， 正是得奖工作的水准奠定了这项奖励的学术地位的基础。 菲尔兹奖首先是一项工作奖（这一点与诺贝尔奖金相同），即授予的原因只能是“已 经做出的成就”，而不能是服务优秀、活动积极等其他原因。但是菲尔兹奖只授予四十岁 以下的数学家（起先是一种默契，後来就成为不成文的规定），因此也带有一点鼓励性。 问题在於，如果放在整个数学家的范围里，菲尔兹奖的得奖工作地位如何？ 我们只举一个小小的例子。一九七八年，当代着名的老一辈数学家，布尔巴基学派创 始人之一丢东涅发表了一篇题为《论纯数学的当前趋势》的论文，对於近二十年来纯数学 各分支的前沿作了全面概述。在文章中，他列举了十三个目前处於主流的数学分支。其中 十二个分支中的部分重要工作是由菲尔兹奖获得者作出的。这再清楚不过地说明了菲尔兹 奖获奖成就的地位。 人们不能不承认，数学对於现实生活的影响正在与日俱增。许多学科都在悄悄地或先 或後地经历着一场数学化的进程。现在，已经没有哪个领域能够抵御得住数学方法的渗透。 数学本身也在一日千里地发展着。全世界成千上万的数学工作者正在几十个分支成百 个专门方向上孜孜研究着。他们每年提出大约二十万条新定理！重要论文数，如以《数学 评论》的摘要为准，每八至十年翻一番。文献数量的爆炸再加上方法概念的迅速更新，使 得工作在不同方向上的数学家连交谈也有点困难，更不用说非数学专业的人了。 这样就产生了一个尖锐的矛盾。一方面，公众非常需要数学，他们渴望理解数学！另 ─方面，现代数学过於深刻、庞大、变得越来越不容易接近。 因此，对於数学，特别是现代数学加以普及，使得数学和数学家的工作能对现实生活 产生应有的积极影响，这已成为人们日益重视的课题。 二十一世纪的曙光即将普照全球，要概述一下二十世纪的数学发展决非易事。就纯粹 数学而言，我们觉得有两个主题可以起到提纲挈领的作用：一个是希尔伯特二十三问题的 提出、解决现状与发展，另一个就是菲尔兹奖的获奖者及其工作。 作为一种表彰纯数学成就的奖励，菲尔兹奖当然不能体现现代数学的全部内容。就这 个奖本身而言也有种种缺点。但是，无论从哪一方面讲，菲尔兹奖的获得者都可以作为当 代数学家的代表，他们的工作所属的领域大体上覆盖了纯粹数学主流分支的前沿。这样， 菲尔兹奖就成了一个窥视现代数学面貌的很好的“窗口”。 -- --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 220.141.124.159