不久前代数正好学到这个地方，我把有关的稍微整理一下。(顺便复习...) 首先 对於实系数多项式f，以{z}表示z的共轭复数 证明 「{f(z)} = f({z})」(*) 是简单的事。即可得若f(z)=0 则f({z}) = 0 回忆(*)的证明，其实用了两件事： I) 对所有实数r, {r}=r II)对所有复数z, w {z+w} = {z}+{w}, {zw}={z}{w} 那对於有理系数多项式 f，固定有理数c，使得sqrt(c)非有理数的平方。 想到 i 其实是 sqrt(-1)，就能依样画葫芦。 对於 S={a+b sqrt(c)属於C| a,b属於Q} 中的元素定义 {a + b sqrt(c)} = a - b sqrt(c) (注意到 a+b sqrt(c)的表法是唯一的) 那可以验证 I') 对所有有理数q, {q}=q II')对所有S中的s,t, {s+t}={s}+{t}, {st}={s}{t} 因此用新定义的{} 可以得到若f(s)=0，则f({s})=0 这个方法虽然很方便，但是它只能处理比较简单的问题。 有关有理系数多项式的「无理根」会不会「成对」 其实光这样讲是有问题的。「成对」好像两个的意思，而且和谁成对也说不清楚。 「无理根」好像隐含实根的意思，不过其实应该在复数上也有类似的结论。 真正的情形应该是 「设a0是复数，则有特定的a1,a2,...,an使得对所有有理系数多项式f都有 『若有i，使f(ai)=0，则f(a0)=f(a1)=f(a2)=...=f(an) = 0』」 也就是说这几个数要不就全都是根，要不就全都不是。 举一个不一样的例子，譬如 a0 = 2^1/3 可以稍微尝试一下，找一些有理系数多项式f使得f(a0)=0 那你将会发现 a1 = wa0, a2 = w^2 a0, 其中w是1的三次方根，(w=/=1)都是f的根。(**) 事实上，这种多项式最简单的就是 g(x) =x^3 - 2 在这个例子里面，是有三个数在一起，不大像「成对」的意思。 但是代数上我们还是会说它们「共轭」。 要证明(**)也不难。对於有理系数多项式f，若有f(ai)=0, i=0,1,或2 考虑f除以g，记成 f(x) = q(x)g(x) + r(x). r(x) = ax^2 + bx + c 那因为g(ai)=0，所以 r(ai) = 0， 然後就想办法证明 r=0。(可以用一些有关有理数无理数的证明，不过这个方法很难推广) 因为 r(ai)=0，所以 g.c.d(g, r)=/=1，但是g无有理根的三次式，不可约，故r=0 不管怎麽说明，既然r=0, g|f，自然 f(a0)=f(a1)=f(a2)=0 从证明中我们也可以看出，若g是不可约的有理系数多项式， 其根为a0,a1,..,an 那麽总有若有i，使f(ai) = 0则 f(a1)=f(a2)=...=f(an)=0 (一个三实根的例子：x^3 - 3x^2 + 3 = 0 的三个根) ※ 引述《TheOneisNEO (Thomas Anderson)》之铭言： : 前面有讨论过 : 不过我还有点不清楚 : 简单的问就是 : f(x)是有理系数多项式 : 那麽f(a+bi) = f(a-bi) b不为零 什麽时候才确定成立? : 还是没这回事 有也只是巧合? : 还有f(a+b√c) = f(a-b√c) b不为零 c非任何有理数的平方 : 那什麽时候才确定会成立? : 二次根号对 那四次根号呢? : 原先是一个高中生问我的 可以用高中方法解释吗? -- r=e^theta 即使有改变，我始终如一。 --

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