作者Dirichlet ( )
看板Math
标题Re: [分析] 初微(41)
时间Thu Oct 6 08:50:11 2005
※ 引述《TaiwanBank (澳仔金控台湾分行)》之铭言：
: 设 f(x) 为定义在 [a,b] 上之实值函数, f 恒正且黎曼可积.
: 请证明 f 在 [a,b] 上之黎曼积分值恒正.
b b
零函数可积且 f(x) ≧ 0 for all x in [a,b], 故 ∫f(x) dx ≧ ∫0 dx = 0 (*)
a a
Claim : 存在一点 c in [a,b] 使得 f 在 c 连续
设否, 则 f 在 [a,b] 上处处不连续, 即使得 f 在其上不连续的所有点所构成的集合
非零测度 => f 在 [a,b] 上不可黎曼积分 (=><=)
依照连续定义 => for postive number f(c)/2, there exists δ>0 s.t.
|x-c|<δ (x in [a,b]) => f(c)/2 < f(x)
设 I = {x : x in [a,b] and |x-c|≦δ} => I 是 [a,b] 的一个子区间, 设其长度是 L
因为 f 在 [a,b] 上可黎曼积分 => f 在 I 上可黎曼积分, 则将原积分分段根据 (*)
b
有 ∫f(x) dx ≧ ∫_I f(x) dx + 0 > (f(c)/2) L > 0
a
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