作者Dirichlet ( )
看板Math
标题Re: [分析] 初微(59)
时间Sun Aug 21 09:56:45 2005
※ 引述《plover (>//////<)》之铭言：
: ※ 引述《Dirichlet ( )》之铭言：
: : [(a_n)^(1/2) - 1/n]^2 = a_n + 1/n^2 - 2[(a_n)^(1/2)]/n ≧ 0
: : a_n + 1/n^2 ≧ 2[(a_n)^(1/2)]/n
: : By assumption, the fact Σ1/n^2 conv. and Comparison test
: : we know Σ{(a_n)^(1/2)}/n conv.
: 如果题目「Σ{(a_n)^(1/2)}/n」改成「Σ{(a_n)^(1/2)} n^{-p} for real p」,
: 那麽 Σ{(a_n)^(1/2)} n^{-p} 的敛散性又是如何？
[(a_n)^(1/2) - 1/n^p]^2 = a_n + 1/n^2p - 2[(a_n)^(1/2)]/n^p ≧ 0
a_n + 1/n^2p ≧ 2[(a_n)^(1/2)]/n^p
所以当 p>1/2 时 原级数都收敛
p=1/2 时, 考虑 a_n = 1/{n[ln(n)]^2} 则 Σa_n 收敛
但 Σ[(a_n)/n]^(1/2) = Σ1/[nln(n)] 发散
p<1/2 时, 同样的 a_n 用比较测试可得 Σ[(a_n)^(1/2)]/n^p 发散
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这题今年政大有考, 末学当时反例找不出来 =.=
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