作者Dirichlet ( )
看板Math
标题Re: [分析] 高微(14)
时间Sun Aug 21 08:42:24 2005
※ 引述《PttFund (批踢踢基金只进不出)》之铭言：
: 决定下列级数, 对於实数 x, 何时收敛?
: ∞ k sin(kx)
: Σ ( Σ 1/s)(---------).
: k=1 s=1 k
k
令 a_k = (Σ 1/s)/k
s=1
Claim : (1) a_k 递减至 0 当 k -> oo
n
(2) {Σ sin(kx) : n in N} 有界 whenever x in [δ, 2π-δ], (0<δ<π)
k=1
k k+1 k k
(Σ 1/s)/k - (Σ 1/s)/(k+1) = [(k+1)(Σ1/s) - k(Σ1/s) - k/(k+1)]/k(k+1)
s=1 s=1 s=1 s=1
k
= [(Σ1/s) - k/(k+1)]/k(k+1) > [1 - k/(k+1)]/k(k+1) > 0 for k ≧ 1
s=1
故 a_k 递减且因为 1/k -> 0 as k -> oo
故极限的平均值定理 => a_k -> 0 as k -> oo
n
接着令 S(n,x) = Σsin(kx), 在等号两边同乘 2sin(x/2) 积化和差推得
k=1
n n
2sin(x/2)S(n,x) = Σ 2sin(x/2)sin(kx) = Σ {cos[(k-1/2)x] - cos[(k+1/2)x]}
k=1 k=1
= cos(x/2) - cos[(n+1/2)x] = 2sin(nx/2)sin[(n+1)x/2]
故 |S(n,x)| = |sin(nx/2)sin[(n+1)x/2]/sin(x/2)|
≦ |csc(x/2)| ≦ |csc(δ/2)| for all n and x
故 Claim (2) 成立
Dirichlet test => 原级数收敛 whenever x in [δ, 2π-δ], (0<δ<π)
事实上当 x 在 [2nπ+δ, 2nπ+2π-δ] 上时原级数都收敛, n in Z
又当 x = 2nπ 时原级数也收敛
故原级数对所有 x in R 收敛
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 61.219.178.211