※ 引述《PttFund (批踢踢基金只进不出)》之铭言： : 请分析 x^r 在哪个区间均匀连续？ 为了不扯到复数, 把焦点放在 [0,oo) case1. r<0 取 {1/n} 是一 Cauchy seq. => (1/n)^r = n^|r|, {n^|r|} 非 Cauchy seq. 故 x^r 在 [0,oo) 上非均匀连续但在 [0,oo) 的每个紧致子集上均匀连续 case2. 0≦r≦1 设 f(x) = x^r => f'(x) = r/x^(1-r) ≦ r whenever x in [1,oo) 故对任意正数 ε>0 且 x,y ≧1, 当 |x-y| < ε/r 时 => |f(x) - f(y)| = |f'(c)||x-y| ≦ r|x-y| < ε, 其中 c 介於 x,y 之间 故 x^r 在 [1,oo) 上均匀连续, 又 x^r 在紧致集 [0,1] 上均匀连续 这两件事可推得 x^r 在 [0,oo) 上均匀连续 case3. r>1 设 x^r 在 [0,oo) 上均匀连续, 取 ε=1 => 存在 δ>0 使得当 |x-y| < δ 时有 |x^r - y^r| < 1, 取 x = y + δ/2, y ≧ 0 => |x^r - y^r| = |rc^(r-1)||x-y|, 其中 y < c < x = (δ/2)|rc^(r-1)| > (δ/2)|ry^(r-1)| 故当 y ≧ (2/rδ)^[1/(r-1)] 时有 |x^r - y^r| > 1, 这显然矛盾 因此 x^r 在 [0,oo) 上非均匀连续但在 [0,oo) 的每个紧致子集上均匀连续 --

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