作者TaiwanBank (澳仔金控台湾分行)
看板Math
标题[分析] 初微(47)
时间Sun Aug 7 18:07:33 2005
假设 f(x) 是区间 [a,b] 上的囿变函数 (有界变差函数),
π = {x_0, x_1, ..., x_n} 是 [a,b] 的分割, 定义
A(π) = { k : f(x_k) - f(x_{k-1}) > 0 }
B(π) = { k : f(x_k) - f(x_{k-1}) < 0 }
且和数
p_f(a,b) = sup { Σ f(x_k) - f(x_{k-1}) }
π k in A(π)
n_f(a,b) = sup { Σ ∣f(x_k) - f(x_{k-1})}
π k in B(π)
分别称为 f(x) 在 [a,b] 上的正变差和负变差.
n
令 V(x) = sup { Σ |f(x_k) - f(x_{k-1})| : a = x_0 < ... < x_n = x},
1
p(x) = p_f(a,x), n(x) = n_f(a,x) 且令 V(a) = p(a) = n(a) = 0,
试证:
(1) V(x) = p(x)+n(x);
(2) 0 ≦ p(x) ≦ V(x), 以及 0 ≦ n(x) ≦ V(x);
(3) 在 [a,b] 上 p(x), n(x) 是增函数;
(4) f(x) = f(a) + p(x) - n(x);
(5) 2p(x) = V(x) + f(x) - f(a),
2n(x) = V(x) - f(x) + f(a);
(6) f(x) 的每个连续点也是 p(x) 和 n(x) 的连续点.
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